设n阶实对称矩阵A满足A2=E，且秩r(A+E)=k

admin2014-02-06 79

问题设n阶实对称矩阵A满足A²=E，且秩r(A+E)=k 证明B=E+A+A²+A³+A⁴是正定矩阵，并求行列式｜B｜的值．

选项

答案因为A²=E，故B=E+A+A²+A³+A⁴=3E+2A．所以矩阵B的特征值是：5(k个)，1(n一k个)．由于B的特征值全大于0且B是对称矩阵，因此B是正定矩阵，且｜B｜=5^k.1^n-k=5^k．

解析

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考研数学三

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