2. 考研
  3. 设非齐次线性方程组AX=B的系数矩阵的秩为r，η1，ηn-r+1是它的n-r+1个线性无关的解．试证它的任一解可表示为 x=k1η1+…+kn-r+1ηn-+1 (其中k1+…+kn-r+1=1)．

设非齐次线性方程组AX=B的系数矩阵的秩为r，η1，ηn-r+1是它的n-r+1个线性无关的解．试证它的任一解可表示为 x=k1η1+…+kn-r+1ηn-+1 (其中k1+…+kn-r+1=1)．

admin2016-05-31  104
问题 设非齐次线性方程组AX=B的系数矩阵的秩为r，η1，ηn-r+1是它的n-r+1个线性无关的解．试证它的任一解可表示为
  x=k1η1+…+kn-r+1ηn-+1  (其中k1+…+kn-r+1=1)．
选项
答案设x为Ax=b的任一解，由题设知η1，η2，…，ηn-r+1线性无关且均为Ax=b的解．取ξ1=η2-η1，ξ2=η3-η1，…，ξn-r=ηn-r+1-η1，根据线性方程解的结构，则它们均为对应齐次 方程Ax=0的解． 下面用反证法证： 设ξ1，ξ2，…，ξn-r线性相关，则存在不全为零的数l1，l2，…，ln-r，使得 l1ξ1+l2ξ2+…+ln-rξn-r=0，即l1(η2-η1)+l2(η3-η1)+…+ln-r(ηn-r+1-η1)=0，亦即-(l1+l2+…+ln-r)η1+l1η2+l2η3+…+ln-rηn-r+1=0． 由η1，η2，…，ηn-r+1线性无关知-(l1+l2+…+ln-r)=l1=l2=…=ln-r=0，与l1，l2，…，ln-r不全为零矛盾，故假设不成立．因此ξ1，ξ2，…，ξn-r线性无关，是Ax=0的一组基． 由于x，η1均为Ax=b的解，所以x-η1为Ax=0的解，因此x-η1可由ξ1，ξ2，…，ξn-r线性表示，设x-η1=k2ξ1+k3ξ2+…+kn-r+1ξn-r =k2(η2-η1)+k3(η3-η1)+…+kn-r+1(ηn-r+1-η1)， 则 x=η1(1-k2-k3-…-kn-r+1)+k2η2+k3η3+…+kn-r+1ηn-r+1=0， 令k1=1-k2-k3…-kn-r+1则k1+k2+k3+…+kn-r+1=1，从而 x=k1η1+k2η2+…+kn-r+1ηn-r+1恒成立．
解析
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考研数学三

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