首页
外语
计算机
考研
公务员
职业资格
财经
工程
司法
医学
专升本
自考
实用职业技能
登录
考研
设非齐次线性方程组AX=B的系数矩阵的秩为r,η1,ηn-r+1是它的n-r+1个线性无关的解.试证它的任一解可表示为 x=k1η1+…+kn-r+1ηn-+1 (其中k1+…+kn-r+1=1).
设非齐次线性方程组AX=B的系数矩阵的秩为r,η1,ηn-r+1是它的n-r+1个线性无关的解.试证它的任一解可表示为 x=k1η1+…+kn-r+1ηn-+1 (其中k1+…+kn-r+1=1).
admin
2016-05-31
78
问题
设非齐次线性方程组AX=B的系数矩阵的秩为r,η
1
,η
n-r+1
是它的n-r+1个线性无关的解.试证它的任一解可表示为
x=k
1
η
1
+…+k
n-r+1
η
n-+1
(其中k
1
+…+k
n-r+1
=1).
选项
答案
设x为Ax=b的任一解,由题设知η
1
,η
2
,…,η
n-r+1
线性无关且均为Ax=b的解.取ξ
1
=η
2
-η
1
,ξ
2
=η
3
-η
1
,…,ξ
n-r
=η
n-r+1
-η
1
,根据线性方程解的结构,则它们均为对应齐次 方程Ax=0的解. 下面用反证法证: 设ξ
1
,ξ
2
,…,ξ
n-r
线性相关,则存在不全为零的数l
1
,l
2
,…,l
n-r
,使得 l
1
ξ
1
+l
2
ξ
2
+…+l
n-r
ξ
n-r
=0,即l
1
(η
2
-η
1
)+l
2
(η
3
-η
1
)+…+l
n-r
(η
n-r+1
-η
1
)=0,亦即-(l
1
+l
2
+…+l
n-r
)η
1
+l
1
η
2
+l
2
η
3
+…+l
n-r
η
n-r+1
=0. 由η
1
,η
2
,…,η
n-r+1
线性无关知-(l
1
+l
2
+…+l
n-r
)=l
1
=l
2
=…=l
n-r
=0,与l
1
,l
2
,…,l
n-r
不全为零矛盾,故假设不成立.因此ξ
1
,ξ
2
,…,ξ
n-r
线性无关,是Ax=0的一组基. 由于x,η
1
均为Ax=b的解,所以x-η
1
为Ax=0的解,因此x-η
1
可由ξ
1
,ξ
2
,…,ξ
n-r
线性表示,设x-η
1
=k
2
ξ
1
+k
3
ξ
2
+…+k
n-r+1
ξ
n-r
=k
2
(η
2
-η
1
)+k
3
(η
3
-η
1
)+…+k
n-r+1
(η
n-r+1
-η
1
), 则 x=η
1
(1-k
2
-k
3
-…-k
n-r+1
)+k
2
η
2
+k
3
η
3
+…+k
n-r+1
η
n-r+1
=0, 令k
1
=1-k
2
-k
3
…-k
n-r+1
则k
1
+k
2
+k
3
+…+k
n-r+1
=1,从而 x=k
1
η
1
+k
2
η
2
+…+k
n-r+1
η
n-r+1
恒成立.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/yLT4777K
0
考研数学三
相关试题推荐
一位社会学家发现大楼的一块玻璃坏了,起初他没太当回事,没过多久,他发现许多处窗户都破损了,经过调研后,他得出结论:一样东西如果有点破损,人们就会有意无意地加快它的破损速度,一样东西如果完好无损,或是及时维护,人们就会精心地护理。这就是著名的“破窗定律”。下
马克思指出:“自由王国只是在必要性和外在目的规定要做的劳动终止的地方才开始;因而按照事物的本性来说,它存在于真正物质生产领域的彼岸。”“在这个必然王国的彼岸,作为目的本身的人类能力的发挥,真正的自由王国,就开始了。但是,这个自由王国只有建立在必然王国的基础
使孙中山对军阀势力有了比较深刻的认识并得出“南与北如一丘之貉”的结论是因为()。
俗话说:“靠山吃山,靠水吃水”。生活在平原和海边的人们,决不会以林业为主业,而生活在高原山地的人们,也决不会以航运和捕鱼为主业。由于自然条件的种种差异,美洲大陆和亚洲大陆的种、养业各有特点,形成了不同的发展道路。由美洲和亚洲的发展差异可以看出(
已知二次型f(x1,x2,x3)=x12+5x22+x32+2x1x2+2ax2x3为正定二次型,则a的取值范围是——.
设向量组B:β1,β2,…,βr能由向量组A:α1,α2,…,αs线性表示为:其中,K为r×s矩阵,且向量组A线性无关,证明:向量组B线性无关的充要条件是矩阵K的秩r(K)=r.
设f(x)在[a,b]上连续,且f(x)>0,x∈[a,b],证明:(1)Fˊ(x)≥2;(2)方程F(x)=0在区间(a,b)内有且仅有一个根.
若4阶矩阵A与B相似,矩阵A的特征值为1/2,1/3,1/4,1/5,则行列式丨B-1-E丨=__________.
若四阶矩阵A与B为相似矩阵,A的特征值为1/2、1/3、1/4、1/5,则行列式|B-1-E|=_______.
随机试题
总量指标动态数列是将反映某种社会经济现象的一系列总量指标按时间先后顺序排列形成的数列,可分为两类:(1)时期数列:每个指标都表示社会经济现象在一定时期内发展过程的总量,各指标值可以相加,指标数值的大小与时期长短有直接关系;(2)时点数列:每个指标都表示社会
临床上“象皮腿”的形成主要是由于
人际沟通
A.六君子汤B.补中益气汤C.玉屏风散D.金匮肾气丸E.生脉散哮病缓解期脾虚为主最宜选用
温度对酶活力的影响错误的是
1.背景:某公司承建城市跨线桥,主桥长520m,桥宽22.15m,跨越现况河渠;桥梁中三跨上部结构为钢筋混凝土预应力连续梁,跨径组合为30m+35m+30m,其余部分为22m长T形简支梁。承台平面尺寸5m×26m,以群桩形式布置128根桩,采用沉
甲公司与刘某签订了无固定期限劳动合同,根据劳动合同法律制度的规定,在劳动合同中约定的试用期不得超过()。
李老师在【化学反应原理】“原电池”一节课堂教学实施环节中,提出如下问题:镁﹣铝(NaOH溶液)形威原电池时作负极的材料是什么?教师请学生预测:大部分学生回答:铝为负极少部分学生回答:镁为负极【实验探究】
人们要做好任何工作,都要依时间、地点、条件为转移,这是因为
【B1】【B14】
最新回复
(
0
)