设A是n阶矩阵，若存在正整数k，使线性方程组Akx=0有解向量α，且Ak—1α≠0．证明：向量组α，Aα，…，A—1α是线性无关的．

admin2017-11-13 28

问题设A是n阶矩阵，若存在正整数k，使线性方程组A^kx=0有解向量α，且A^k—1α≠0．证明：向量组α，Aα，…，A^—1α是线性无关的．

选项

答案设有常数λ₁，λ₂，…，λ_k，使得 λ₁α+λ₂α+…+λ_kAα=0 两端左乘A^k—1，得 λ₁A^k—1α+λ₂2A^kα+…+λ_kA^2k—2α=0 由于A^kα=0，有A^k+lα=0(l为任意正整数)，从而有 λ₁Aα=0 因为A^k—1α≠0，所以λ₁=0．类似可证得λ₂=λ₃=…=λ_k=0，因此向量组α，Aα，…，Aα线性无关．

解析本题考查如何根据已知条件，利用定义证明向量组线性无关．注意，若λ为数，向量α≠0，则λα=0

λ=0．因此，要从多个向量的线性组合等于零向量来推证该线性组合的系数都为0，就需要把它变形成λα=0的形式，当α≠0时就有λ=0．

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考研数学一

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设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内二阶可导，f(a)=f(b)，且f(x)在[a，b]上不恒为常数，证明：存在ξ，η∈(a，b)，使得f’(ξ)＞0，f’(η)＜0．

A、发散B、条件收敛C、绝对收敛D、敛散性与k的取值有关C

设f(x)，g(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f(a)=f(b)=0，证明：存在ξ∈(a，b)，使得f’(ξ)+f(ξ)g’(ξ)=0．

设0＜a＜1，证明：方程arctanx=ax在(0，+∞)内有且仅有一个实根．

证明：当x＞0时，x2＞(1+x)In2(1+x)．

判断级数的敛散性，若级数收敛，判断其是绝对收敛还是条件收敛．

设A，B，C，D都是n阶矩阵，r(CA＋DB)＝n．

设f(x)在(一∞，＋∞)内一阶连续可导，且．证明：收敛，而发散．

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A、TheAmericanEmbassy.B、Collegewebsites.C、Educationaladvisingcenter.D、Admissionofficeoftheuniversity.A细节题。对话中并未提及选项A

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