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设A是n阶矩阵,若存在正整数k,使线性方程组Akx=0有解向量α,且Ak—1α≠0.证明:向量组α,Aα,…,A—1α是线性无关的.
设A是n阶矩阵,若存在正整数k,使线性方程组Akx=0有解向量α,且Ak—1α≠0.证明:向量组α,Aα,…,A—1α是线性无关的.
admin
2017-11-13
42
问题
设A是n阶矩阵,若存在正整数k,使线性方程组A
k
x=0有解向量α,且A
k—1
α≠0.证明:向量组α,Aα,…,A
—1
α是线性无关的.
选项
答案
设有常数λ
1
,λ
2
,…,λ
k
,使得 λ
1
α+λ
2
α+…+λ
k
Aα=0 两端左乘A
k—1
,得 λ
1
A
k—1
α+λ
2
2A
k
α+…+λ
k
A
2k—2
α=0 由于A
k
α=0,有A
k+l
α=0(l为任意正整数),从而有 λ
1
Aα=0 因为A
k—1
α≠0,所以λ
1
=0.类似可证得λ
2
=λ
3
=…=λ
k
=0,因此向量组α,Aα,…,Aα线性无关.
解析
本题考查如何根据已知条件,利用定义证明向量组线性无关.注意,若λ为数,向量α≠0,则λα=0
λ=0.因此,要从多个向量的线性组合等于零向量来推证该线性组合的系数都为0,就需要把它变形成λα=0的形式,当α≠0时就有λ=0.
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/yNr4777K
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考研数学一
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