设A是n阶矩阵，若存在正整数k，使线性方程组Akx=0有解向量α，且Ak—1α≠0．证明：向量组α，Aα，…，A—1α是线性无关的．

admin2017-11-13 72

问题设A是n阶矩阵，若存在正整数k，使线性方程组A^kx=0有解向量α，且A^k—1α≠0．证明：向量组α，Aα，…，A^—1α是线性无关的．

选项

答案设有常数λ₁，λ₂，…，λ_k，使得 λ₁α+λ₂α+…+λ_kAα=0 两端左乘A^k—1，得 λ₁A^k—1α+λ₂2A^kα+…+λ_kA^2k—2α=0 由于A^kα=0，有A^k+lα=0(l为任意正整数)，从而有 λ₁Aα=0 因为A^k—1α≠0，所以λ₁=0．类似可证得λ₂=λ₃=…=λ_k=0，因此向量组α，Aα，…，Aα线性无关．

解析本题考查如何根据已知条件，利用定义证明向量组线性无关．注意，若λ为数，向量α≠0，则λα=0

λ=0．因此，要从多个向量的线性组合等于零向量来推证该线性组合的系数都为0，就需要把它变形成λα=0的形式，当α≠0时就有λ=0．

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考研数学一

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