设A是n阶矩阵，若存在正整数k，使线性方程组Akx=0有解向量α，且Ak—1α≠0．证明：向量组α，Aα，…，A—1α是线性无关的．

admin2017-11-13 30

问题设A是n阶矩阵，若存在正整数k，使线性方程组A^kx=0有解向量α，且A^k—1α≠0．证明：向量组α，Aα，…，A^—1α是线性无关的．

选项

答案设有常数λ₁，λ₂，…，λ_k，使得 λ₁α+λ₂α+…+λ_kAα=0 两端左乘A^k—1，得 λ₁A^k—1α+λ₂2A^kα+…+λ_kA^2k—2α=0 由于A^kα=0，有A^k+lα=0(l为任意正整数)，从而有 λ₁Aα=0 因为A^k—1α≠0，所以λ₁=0．类似可证得λ₂=λ₃=…=λ_k=0，因此向量组α，Aα，…，Aα线性无关．

解析本题考查如何根据已知条件，利用定义证明向量组线性无关．注意，若λ为数，向量α≠0，则λα=0

λ=0．因此，要从多个向量的线性组合等于零向量来推证该线性组合的系数都为0，就需要把它变形成λα=0的形式，当α≠0时就有λ=0．

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考研数学一

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设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内二阶可导，f(a)=f(b)，且f(x)在[a，b]上不恒为常数，证明：存在ξ，η∈(a，b)，使得f’(ξ)＞0，f’(η)＜0．

以y=C1e-2x+C2ex+cosx为通解的二阶常系数非齐次线性微分方程为________。

设f(x)，g(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f(a)=f(b)=0，证明：存在ξ∈(a，b)，使得f’(ξ)+f(ξ)g’(ξ)=0．

设0＜a＜1，证明：方程arctanx=ax在(0，+∞)内有且仅有一个实根．

证明：当x＞0时，x2＞(1+x)In2(1+x)．

判别级数的敛散性，若收敛求其和．

设函数f0(x)在(一∞，＋∞)内连续，证明：绝对收敛．

求函数f(x)＝In(1一x一2x2)的幂级数，并求出该幂级数的收敛域．

设{un}，{cn}为正项数列，证明：

患者，男，57岁。常在黎明前脐腹作痛，肠鸣即泻，冯后则安，伴腹部喜暖，腰膝酸软，舌淡苔白，脉沉细。针对患者情况，可在主穴基础上，加用

女，11个月。牛奶喂养，面色苍白3个月，烦躁，肝肋下2cm，脾肋下刚触及。血象：血红蛋白80g/L，红细胞3.6×1012/L，网织红细胞0.01，外周血涂片红细胞大小不等，中心淡染，初步诊断是

关于慢性胃炎患者的患者饮食指导，正确的是

目前世界上存在的兼容制彩色电视制式有NTSC制、SECAM制和()制。

普通股股东具有的公司管理权不包括()。

对借款企业来说，采用补偿性余额使得借款的实际利率(　　)。

货币政策就是财政政策。()

某公司组织一次健康知识普及竞赛，主办的部门准备了若干间教室作为考室，如果每间考室安排25人，还余15人没有考室，如果安排30人，不仅多了一个教室还有一间教室安排的人少于8人，则主办方准备了()间教室。

毛泽东提出调动一切积极因素建设社会主义强国思想的著作是()。

设A=．A是A的伴随矩阵，则Ax=0的通解是________．

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