设A是n阶矩阵，若存在正整数k，使线性方程组Akx=0有解向量α，且Ak—1α≠0．证明：向量组α，Aα，…，A—1α是线性无关的．

admin2017-11-13 26

问题设A是n阶矩阵，若存在正整数k，使线性方程组A^kx=0有解向量α，且A^k—1α≠0．证明：向量组α，Aα，…，A^—1α是线性无关的．

选项

答案设有常数λ₁，λ₂，…，λ_k，使得 λ₁α+λ₂α+…+λ_kAα=0 两端左乘A^k—1，得 λ₁A^k—1α+λ₂2A^kα+…+λ_kA^2k—2α=0 由于A^kα=0，有A^k+lα=0(l为任意正整数)，从而有 λ₁Aα=0 因为A^k—1α≠0，所以λ₁=0．类似可证得λ₂=λ₃=…=λ_k=0，因此向量组α，Aα，…，Aα线性无关．

解析本题考查如何根据已知条件，利用定义证明向量组线性无关．注意，若λ为数，向量α≠0，则λα=0

λ=0．因此，要从多个向量的线性组合等于零向量来推证该线性组合的系数都为0，就需要把它变形成λα=0的形式，当α≠0时就有λ=0．

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考研数学一

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设f(x)在[a，b]上满足｜f"(x)｜≤2，且f(x)在(a，b)内取到最小值．证明：｜f’(a)｜+｜f’(b)｜≤2(b一a)．

设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导(a>0)．证明：存在ξ，η∈(a，b)，使得

设f(x)，g(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f(a)=f(b)=0，证明：存在ξ∈(a，b)，使得f’(ξ)+f(ξ)g’(ξ)=0．

设f(x)在[a，b]上有定义，M>0且对任意的x，y∈[a，b]，有｜f(x)一f(y)｜≤M｜x—y｜k(1)证明：当k>0时，f(x)在[a，b]上连续；(2)证明：当k>1时，f(x)≡常数．

判别级数的敛散性，若收敛求其和．

设函数f0(x)在(一∞，＋∞)内连续，证明：绝对收敛．

求函数f(x)＝In(1一x一2x2)的幂级数，并求出该幂级数的收敛域．

设y＝y(x)满足y’＝x＋y，且满足y(0)＝1，讨论级数的敛散性．

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