设函数f(x)具有连续的二阶导数，并满足方程f(x)=1一∫0x[f"(t)+4f(t)]dt，且f’(0)=0，求函数f(x)的表达式．

admin2017-10-19 80

问题设函数f(x)具有连续的二阶导数，并满足方程f(x)=1一

∫₀^x[f"(t)+4f(t)]dt，且f’(0)=0，求函数f(x)的表达式．

选项

答案通过求导，将积分方程化为微分方程，得f"(x)+5f’(x)+4f(x)=0，且满足条件f(0)=1，f’(0)=0，这是一个二阶常系数齐次线性微分方程．因为特征方程为λ²+5λ+4=(λ+1)(λ+4)=0，所以特征值为λ₁=一1，λ₂=一4，从而微分方程的通解为 f(x)=c₁e^—x+c₂e^—4x，其中c₁，c₂为任意常数． [*]

解析本题主要考查将积分方程化为微分方程的方法，并用相应的方法求解．

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