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设函数f(x)具有连续的二阶导数,并满足方程f(x)=1一∫0x[f"(t)+4f(t)]dt,且f’(0)=0,求函数f(x)的表达式.
设函数f(x)具有连续的二阶导数,并满足方程f(x)=1一∫0x[f"(t)+4f(t)]dt,且f’(0)=0,求函数f(x)的表达式.
admin
2017-10-19
108
问题
设函数f(x)具有连续的二阶导数,并满足方程f(x)=1一
∫
0
x
[f"(t)+4f(t)]dt,且f’(0)=0,求函数f(x)的表达式.
选项
答案
通过求导,将积分方程化为微分方程,得f"(x)+5f’(x)+4f(x)=0,且满足条件f(0)=1,f’(0)=0,这是一个二阶常系数齐次线性微分方程. 因为特征方程为λ
2
+5λ+4=(λ+1)(λ+4)=0,所以特征值为λ
1
=一1,λ
2
=一4,从而微分方程的通解为 f(x)=c
1
e
—x
+c
2
e
—4x
, 其中c
1
,c
2
为任意常数. [*]
解析
本题主要考查将积分方程化为微分方程的方法,并用相应的方法求解.
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/yZH4777K
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考研数学三
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