设二次型 f(x1，x2，x3)=ax12+ax22+(a-1)x32+2x1x3-2x2x3， (Ⅰ)求二次型f的矩阵的所有特征值； (Ⅱ)若二次型f的规范形为y12+y22，求a的值．

admin2016-10-20 158

问题设二次型
f(x₁，x₂，x₃)=ax₁²+ax₂²+(a-1)x₃²+2x₁x₃-2x₂x₃，
(Ⅰ)求二次型f的矩阵的所有特征值；
(Ⅱ)若二次型f的规范形为y₁²+y₂²，求a的值．

选项

答案(Ⅰ)二次型f的矩阵为A=[*]，其特征多项式为｜λE-A｜=[*]=(λ-a)[λ-(a+1)][λ-(a-2)]，所以二次型f矩阵A的特征值为λ₁=a，λ₂=a+1，λ₃=a-2． (Ⅱ)因为二次型f的规范形是y₁²+y₂²，所以二次型矩阵A的特征值为：2个正数，1个0．由于a-2＜a＜a+1，所以a-2=0，即a=2．

解析

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考研数学三

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