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设二次型 f(x1,x2,x3)=ax12+ax22+(a-1)x32+2x1x3-2x2x3, (Ⅰ)求二次型f的矩阵的所有特征值; (Ⅱ)若二次型f的规范形为y12+y22,求a的值.
设二次型 f(x1,x2,x3)=ax12+ax22+(a-1)x32+2x1x3-2x2x3, (Ⅰ)求二次型f的矩阵的所有特征值; (Ⅱ)若二次型f的规范形为y12+y22,求a的值.
admin
2016-10-20
149
问题
设二次型
f(x
1
,x
2
,x
3
)=ax
1
2
+ax
2
2
+(a-1)x
3
2
+2x
1
x
3
-2x
2
x
3
,
(Ⅰ)求二次型f的矩阵的所有特征值;
(Ⅱ)若二次型f的规范形为y
1
2
+y
2
2
,求a的值.
选项
答案
(Ⅰ)二次型f的矩阵为A=[*],其特征多项式为 |λE-A|=[*]=(λ-a)[λ-(a+1)][λ-(a-2)], 所以二次型f矩阵A的特征值为λ
1
=a,λ
2
=a+1,λ
3
=a-2. (Ⅱ)因为二次型f的规范形是y
1
2
+y
2
2
,所以二次型矩阵A的特征值为:2个正数,1个0. 由于a-2<a<a+1,所以a-2=0,即a=2.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/yaT4777K
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考研数学三
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