求由曲线y=2-x2，y=2x-1及x≥0围成的平面图形的面积S以及此平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积Vx．

admin2015-06-13 73

问题求由曲线y=2-x²，y=2x-1及x≥0围成的平面图形的面积S以及此平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积V_x．

选项

答案由已知曲线画出平面图形如图阴影区域所示． [*]

解析本题考查的知识点有平面图形面积的计算及旋转体体积的计算，难点是根据所给的已知曲线画出封闭的平面图形，然后再求其面积S，求面积的关键是确定对x积分还
是对y积分，确定平面图形的最简单方法是：
题中给的曲线是三条，则该平面图形的边界也必须是三条，多一条或少一条都不是题中所要求的．
确定对x积分还是对y积分的一般原则是：尽可能用一个定积分而不是几个定积分之和来表示，本题如改为对y积分，则有

计算量显然比对x积分的计算量要大，所以选择积分变量的次序是能否快而准地求出积分的关键．
在求旋转体的体积时，一定要注意题目中的旋转轴是x轴还是y轴．
由于本题在x轴下面的图形绕x旋转成的体积与x轴上面的图形绕z轴旋转的旋转体的体积重合了，所以只要计算z轴上面的图形绕x轴旋转形成旋转体的体积即可，如果将旋转体的体积写成
V_x=π∫₀¹(2-x²)²dx-π∫₀¹(2x-1)²dx，
则有V_x=π∫₀¹(x⁴-8x²+4x+3)dx

而实际体积为27π／10，两者之差为

，恰为x轴下面的三角形图形绕x轴旋转一周的旋转体体积1／π．

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