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求由曲线y=2-x2,y=2x-1及x≥0围成的平面图形的面积S以及此平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积Vx.
求由曲线y=2-x2,y=2x-1及x≥0围成的平面图形的面积S以及此平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积Vx.
admin
2015-06-13
89
问题
求由曲线y=2-x
2
,y=2x-1及x≥0围成的平面图形的面积S以及此平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积V
x
.
选项
答案
由已知曲线画出平面图形如图阴影区域所示. [*]
解析
本题考查的知识点有平面图形面积的计算及旋转体体积的计算,难点是根据所给的已知曲线画出封闭的平面图形,然后再求其面积S,求面积的关键是确定对x积分还
是对y积分,确定平面图形的最简单方法是:
题中给的曲线是三条,则该平面图形的边界也必须是三条,多一条或少一条都不是题中所要求的.
确定对x积分还是对y积分的一般原则是:尽可能用一个定积分而不是几个定积分之和来表示,本题如改为对y积分,则有
计算量显然比对x积分的计算量要大,所以选择积分变量的次序是能否快而准地求出积分的关键.
在求旋转体的体积时,一定要注意题目中的旋转轴是x轴还是y轴.
由于本题在x轴下面的图形绕x旋转成的体积与x轴上面的图形绕z轴旋转的旋转体的体积重合了,所以只要计算z轴上面的图形绕x轴旋转形成旋转体的体积即可,如果将旋转体的体积写成
V
x
=π∫
0
1
(2-x
2
)
2
dx-π∫
0
1
(2x-1)
2
dx,
则有V
x
=π∫
0
1
(x
4
-8x
2
+4x+3)dx
而实际体积为27π/10,两者之差为
,恰为x轴下面的三角形图形绕x轴旋转一周的旋转体体积1/π.
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高等数学二
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