2. 专升本
  3. 求由曲线y=2-x2，y=2x-1及x≥0围成的平面图形的面积S以及此平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积Vx．

求由曲线y=2-x2，y=2x-1及x≥0围成的平面图形的面积S以及此平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积Vx．

admin2015-06-13  59
问题 求由曲线y=2-x2，y=2x-1及x≥0围成的平面图形的面积S以及此平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积Vx．
选项
答案由已知曲线画出平面图形如图阴影区域所示． [*]
解析 本题考查的知识点有平面图形面积的计算及旋转体体积的计算，难点是根据所给的已知曲线画出封闭的平面图形，然后再求其面积S，求面积的关键是确定对x积分还
是对y积分，确定平面图形的最简单方法是：
    题中给的曲线是三条，则该平面图形的边界也必须是三条，多一条或少一条都不是题中所要求的．
确定对x积分还是对y积分的一般原则是：尽可能用一个定积分而不是几个定积分之和来表示，本题如改为对y积分，则有

    计算量显然比对x积分的计算量要大，所以选择积分变量的次序是能否快而准地求出积分的关键．
    在求旋转体的体积时，一定要注意题目中的旋转轴是x轴还是y轴．
    由于本题在x轴下面的图形绕x旋转成的体积与x轴上面的图形绕z轴旋转的旋转体的体积重合了，所以只要计算z轴上面的图形绕x轴旋转形成旋转体的体积即可，如果将旋转体的体积写成
Vx=π∫01(2-x2)2dx-π∫01(2x-1)2dx，
    则有Vx=π∫01(x4-8x2+4x+3)dx

    而实际体积为27π／10，两者之差为，恰为x轴下面的三角形图形绕x轴旋转一周的旋转体体积1／π．
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