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  3. 求f(x，y，z)=2x+2y—z2+5在区域Ω：x2+y2+z2≤2上的最大值与最小值．

求f(x，y，z)=2x+2y—z2+5在区域Ω：x2+y2+z2≤2上的最大值与最小值．

admin2014-02-06  104
问题 求f(x，y，z)=2x+2y—z2+5在区域Ω：x2+y2+z2≤2上的最大值与最小值．
选项
答案f(x，y，z)在有界闭区域Ω上连续，一定存在最大、最小值．第一步，先求f(x，y，z)在Ω内的驻点．由[*]知f(x，y，z)在Ω内无驻点，因此f(x，y，z)在Ω的最大、最小值都只能在Ω的边界上达到．第二步，求f(x，y，z)在Ω的边界x2+y2+z2=2上的最大、最小值，即求f(x，y，z)在条件x2+y2+z2一2=0下的最大、最小值．令F(x，y，z，λ)=2x+2y—z2+5+λ(x2+y2+z2一2)，解方程组[*]由①，②知x=y，由③知z=0或λ=1．由x=y，z=0代入④知x=y=±1，z=0．当λ=1时由①，②，④也得x=y=一1，z=0．因此得驻点P1(一1，一1，0)与P2(1，1，0)．计算得知f(P1)=1，f(P2)=9．因此，f(x，y，z)在Ω的最大值为9，最小值为1．
解析
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考研数学三

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