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设f(x),g(x)在[a,b]上连续,且满足∫axf(t)dt≥∫axg(t)dt,x∈[a,b),f(t)dt=∫abg(t)dt。证明∫abxf(x)dx≤∫axxg(x)dx。
设f(x),g(x)在[a,b]上连续,且满足∫axf(t)dt≥∫axg(t)dt,x∈[a,b),f(t)dt=∫abg(t)dt。证明∫abxf(x)dx≤∫axxg(x)dx。
admin
2017-01-21
65
问题
设f(x),g(x)在[a,b]上连续,且满足∫
a
x
f(t)dt≥∫
a
x
g(t)dt,x∈[a,b),f(t)dt=∫
a
b
g(t)dt。证明∫
a
b
xf(x)dx≤∫
a
x
xg(x)dx。
选项
答案
令F(x)=f(x)—g(x),G(x)=F(t)dt,由题设G(x)≥0,x∈[a,b),且G(A)=G(b)=0,G’(x)=F(x)。 从而∫
a
b
xF(x)dx=∫
a
b
xdG(x)=xG(x)|
a
b
一∫
a
b
G(x)dx=一∫
a
b
bG(x)dx,由于G(x)≥0,x∈[a,b),故有一∫
a
b
G(x)dx≤0,即∫
a
b
xF(x)dx≤0。 因此∫
a
b
xf(x)dx≤∫
a
b
xg(x)dx。
解析
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考研数学三
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