已知齐次线性方程组 i: x1+2x2+3x3=0； 2x1+3x2+5x3=0； x1+2x2+ax3=0；和ii: x1+bx2+cx3=0； 2x1+b2x2+(c+1)x3=0；同解，求a，b，c的值．证明α1，α2，α3线性无关；

admin2013-02-27 26

问题已知齐次线性方程组
i:
x₁+2x₂+3x₃=0；
2x₁+3x₂+5x₃=0；
x₁+2x₂+ax₃=0；
和ii:
x₁+bx₂+cx₃=0；
2x₁+b²x₂+(c+1)x₃=0；
同解，求a，b，c的值．
证明α₁，α₂，α₃线性无关；

选项

答案由特征值特征向量定义有：Aα₁=-α₁，Aα₂=α₂．设k₁α₁+k₂α₂+k₃α₃=0， ① 用A乘①得：-k₁α₁+2k₂α₂+k₃(α₂+α₃)=0． ② ①-②得：2k₁α₁-k₃α₂=0． ③ 因为α₁,α₂是矩阵A不同特征值的特征向量，α₁，α₂线性无关，所以k₁=0，k₂=0．代入①有k₂α₂=0．因为α₂是特征向量，α₂≠0，故k₂=0．从而α₁，α₂，α₃线性无关．

解析

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考研数学三

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已知齐次线性方程组 i: x1+2x2+3x3=0； 2x1+3x2+5x3=0； x1+2x2+ax3=0；和ii: x1+bx2+cx3=0； 2x1+b2x2+(c+1)x3=0；同解，求a，b，c的值．证明α1，α2，α3线性无关；

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