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已知齐次线性方程组 i: x1+2x2+3x3=0; 2x1+3x2+5x3=0; x1+2x2+ax3=0; 和ii: x1+bx2+cx3=0; 2x1+b2x2+(c+1)x3=0; 同解,求a,b,c的值. 证明α1,α2,α3线性无关;
已知齐次线性方程组 i: x1+2x2+3x3=0; 2x1+3x2+5x3=0; x1+2x2+ax3=0; 和ii: x1+bx2+cx3=0; 2x1+b2x2+(c+1)x3=0; 同解,求a,b,c的值. 证明α1,α2,α3线性无关;
admin
2013-02-27
69
问题
已知齐次线性方程组
i:
x
1
+2x
2
+3x
3
=0;
2x
1
+3x
2
+5x
3
=0;
x
1
+2x
2
+ax
3
=0;
和ii:
x
1
+bx
2
+cx
3
=0;
2x
1
+b
2
x
2
+(c+1)x
3
=0;
同解,求a,b,c的值.
证明α
1
,α
2
,α
3
线性无关;
选项
答案
由特征值特征向量定义有:Aα
1
=-α
1
,Aα
2
=α
2
. 设k
1
α
1
+k
2
α
2
+k
3
α
3
=0, ① 用A乘①得:-k
1
α
1
+2k
2
α
2
+k
3
(α
2
+α
3
)=0. ② ①-②得:2k
1
α
1
-k
3
α
2
=0. ③ 因为α
1
,α
2
是矩阵A不同特征值的特征向量,α
1
,α
2
线性无关,所以k
1
=0,k
2
=0.代入①有k
2
α
2
=0.因为α
2
是特征向量,α
2
≠0,故k
2
=0.从而α
1
,α
2
,α
3
线性无关.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/BcF4777K
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考研数学三
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