设f(x)=ex-∫0x(x-t)f(t)dt，其中f(x)二阶可导，求f(x)．

admin2022-11-02 38

问题设f(x)=e^x-∫₀^x(x-t)f(t)dt，其中f(x)二阶可导，求f(x)．

选项

答案由f(x)=e^x-∫₀^x(x-t)f(t)dt,得f(x)=e^x-x∫₀^xf(t)dt+∫₀^xtf(t)dt，两边对x求导，得f’(x)=e²-∫₀^xf(t)dt，两边再对x求导得f"(x)+f(x)=e^x，其通解为f(x)=C₁cosx+C₂sinx+1/2e^x．在f(x)=e^x-∫₀^x(x-t)f(t)dt中，令x=0得f(0)=1，在f’(x)=e^x-∫₀^xf(t)dt中，令得f’(0)=1，于是有C₁=1/2，C₂=1/2，故f(x)=1/2(cosx+sinx)+1/2e^x．

解析

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考研数学三

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