2. 考研
  3. 设f(x)=ex-∫0x(x-t)f(t)dt，其中f(x)二阶可导，求f(x)．

设f(x)=ex-∫0x(x-t)f(t)dt，其中f(x)二阶可导，求f(x)．

admin2022-11-02  23
问题 设f(x)=ex-∫0x(x-t)f(t)dt，其中f(x)二阶可导，求f(x)．
选项
答案由f(x)=ex-∫0x(x-t)f(t)dt,得f(x)=ex-x∫0xf(t)dt+∫0xtf(t)dt，两边对x求导，得f’(x)=e2-∫0xf(t)dt，两边再对x求导得f"(x)+f(x)=ex，其通解为f(x)=C1cosx+C2sinx+1/2ex．在f(x)=ex-∫0x(x-t)f(t)dt中，令x=0得f(0)=1，在f’(x)=ex-∫0xf(t)dt中，令得f’(0)=1，于是有C1=1/2，C2=1/2，故f(x)=1/2(cosx+sinx)+1/2ex．
解析
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考研数学三

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