设α1,α2，…，αr，和β1β2，…，βs是两个线性无关的n维向量．证明：向量组{α1,α2，…，αr；β1β2，…，βs}线性相关甘存在非零向量r，它既可用α1,α2，…，αr线性表示，又可用β1β2，…，βs线性表示．

admin2017-10-21 52

问题设α₁,α₂，…，α_r，和β₁β₂，…，β_s是两个线性无关的n维向量．证明：向量组{α₁,α₂，…，α_r；β₁β₂，…，β_s}线性相关甘存在非零向量r，它既可用α₁,α₂，…，α_r线性表示，又可用β₁β₂，…，β_s线性表示．

选项

答案“→”因为{α₁,α₂，…，α_r；β₁β₂，…，β_s}线性相关，所以存在c₁，c₂，…，c_r，c_r+1，…c_r+s不全为0，使得 c₁α₁+c₂α₂+…+c_rα_r+c_r+1β₁+c₁₊₂β₂+…+c_r+sβ_s=0 记γ=c₁α₁+c₂α₂+…+c_rα_r=一(c_r+1β₁+c_r+2β₂+…+c_r+sβ_s)，则γ≠0(否则由α₁,α₂，…，α_r和β₁β₂，…，β_s都线性无关，推出c₁，c₂，…，c_r，c_r+1，…，c_r+s全为0)，并且它既可用α₁,α₂，…，α_r表示，又可用β₁β₂，…，β_s表示． “←”设γ≠0，它既可用α₁，…，α_r，表示，又可用β₁，…，β_s表示．记γ=c₁α₁+c₂α₂+…+c_rα_s=t₁β₁+t₂β₂+…+t_sβ_s，则c₁，c₂，…，c_r和t₁，t₂，…，t_s都不全为0，而c₁α₁+c₂α₂+…+c_rα_s一t₁β₁一t₂β₂一…一t_sβ_s=0．根据定义，{α₁,α₂，…，α_r；β₁β₂，…，β_s}线性相关．

解析

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考研数学三

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设α1,α2，…，αr，和β1β2，…，βs是两个线性无关的n维向量．证明：向量组{α1,α2，…，αr；β1β2，…，βs}线性相关甘存在非零向量r，它既可用α1,α2，…，αr线性表示，又可用β1β2，…，βs线性表示．

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