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设α1,α2,…,αs是n维向量组,r(α1,α2,…,αs)=r,则( )不正确.
设α1,α2,…,αs是n维向量组,r(α1,α2,…,αs)=r,则( )不正确.
admin
2020-03-01
69
问题
设α
1
,α
2
,…,α
s
是n维向量组,r(α
1
,α
2
,…,α
s
)=r,则( )不正确.
选项
A、如果r=n,则任何n维向量都可用α
1
,α
2
,…,α
s
线性表示.
B、如果任何n维向量都可用α
1
,α
2
,…,α
s
线性表示,则r=n.
C、如果r=s,则任何n维向量都可用α
1
,α
2
,…,α
s
唯一线性表示.
D、如果r<n,则存在n维向量不能用α
1
,α
2
,…,α
s
线性表示.
答案
C
解析
利用“用秩判断线性表示”的有关性质.
当r=n时,任何n维向量添加进α
1
,α
2
,…,α
s
时,秩不可能增大,从而A正确.
如果B的条件成立,则任何n维向量组β
1
,β
2
,…,β
t
都可用α
1
,α
2
,…,α
s
线性表示,从而r(β
1
,β
2
,…,β
t
)≤r(α
1
,α
2
,…,α
s
).如果取β
1
,β
2
,…,β
n
是一个n阶可逆矩阵的列向量组,则得
n=r(β
1
,β
2
,…,β
n
)≤r(α
1
,α
2
,…,α
s
)≤n,
从而r(α
1
,α
2
,…,α
s
)=n,B正确.
D是B的逆否命题,也正确.
由排除法,得选项应该为C.下面分析为什么C不正确.
r=s只能说明α
1
,α
2
,…,α
s
线性无关,如果r<n,则用B的逆否命题知道存在n维向量不可用α
1
,α
2
,…,α
s
线性表示,因此C不正确.
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/zVA4777K
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考研数学二
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