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设f(x)是连续函数,F(x)是f(x)的原函数,则( ).
设f(x)是连续函数,F(x)是f(x)的原函数,则( ).
admin
2015-08-28
67
问题
设f(x)是连续函数,F(x)是f(x)的原函数,则( ).
选项
A、当f(x)是奇函数时,F(x)必为偶函数
B、当f(x)是偶函数时,F(x)必为奇函数
C、当f(x)是周期函数时,F(x)必为周期函数
D、当f(x)是单调增函数时,F(x)必为单调增函数
答案
A
解析
f(x)的原函数可以写成F(x)=∫
0
x
f(t)dt+C形式,则
F(一x)=∫
0
-x
f(t)dt+C
∫
0
x
f(一u)d(一u)+C.
当f(x)是奇函数时,f(一u)=一f(u),从而有
F(一x)=∫
0
x
f(u)du+C=F(x).
当f(x)是偶函数时,有
F(一x)=一∫
0
x
f(u)du+C≠一F(x) (除非C=0).
故(B)不成立.
下面举例说明(C),(D)不成立,如果f(x)是以T为周期的函数,设ψ(x)=∫
0
x
f(t)dt,而F(x)=ψ(x)+C不是周期函数.
又如y=x在(一∞,+∞)为单调增函数,而F(x)=
+C在(一∞,+∞)上是非单调增函数.
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