2. 考研
  3. 设f(x)是连续函数，F(x)是f(x)的原函数，则( )．

设f(x)是连续函数，F(x)是f(x)的原函数，则( )．

admin2015-08-28  40
问题 设f(x)是连续函数，F(x)是f(x)的原函数，则(    )．
选项 A、当f(x)是奇函数时，F(x)必为偶函数
B、当f(x)是偶函数时，F(x)必为奇函数
C、当f(x)是周期函数时，F(x)必为周期函数
D、当f(x)是单调增函数时，F(x)必为单调增函数
答案A
解析 f(x)的原函数可以写成F(x)=∫0xf(t)dt+C形式，则
F(一x)=∫0-xf(t)dt+C∫0xf(一u)d(一u)+C．
当f(x)是奇函数时，f(一u)=一f(u)，从而有
    F(一x)=∫0xf(u)du+C=F(x)．
    当f(x)是偶函数时，有
    F(一x)=一∫0xf(u)du+C≠一F(x)  (除非C=0)．
  故(B)不成立．
  下面举例说明(C)，(D)不成立，如果f(x)是以T为周期的函数，设ψ(x)=∫0xf(t)dt，而F(x)=ψ(x)+C不是周期函数．
    又如y=x在(一∞，+∞)为单调增函数，而F(x)=+C在(一∞，+∞)上是非单调增函数．
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