已知函数z=f(x，y)的全微分dz=2xdx一2ydy，并且f(1，1)=2。求f(x，y)在椭圆域上的最大值和最小值。

admin2017-12-23 70

问题已知函数z=f(x，y)的全微分dz=2xdx一2ydy，并且f(1，1)=2。求f(x，y)在椭圆域

上的最大值和最小值。

选项

答案根据题意可知[*] 于是f(x，y)=x²+C(y)，且C’(y)=一2y，因此有C(y)=一y²+C，由f(1，1)=2，得C=2，故f(x，y)=x²一y²+2。令[*]得可能极值点为x=0，y=0且[*] △=B²一AC=4＞0，所以点(0，0)不是极值点，也不可能是最值点。下面讨论其边界曲线[*]上的情形，令拉格朗日函数为 [*] 得可能极值点x=0,y=2,A=4；x=0,y=一2，λ=4；x=1，y=0,A=一1；x=一1，y=0，λ=一1。将其分别代入f(x，y)得f(0，±2)=一2 f(±1，0)=3，因此z=f(x，y)在区域 [*] 内的最大值为3，最小值为一2。

解析

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