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已知函数f(x)的定义域为R,且对任意的实数x,导函数f(x)满足0<f’(x)<2,且f’(x)≠1。常数c1为方程f(x)-x=0的实数根,常数c2为方程f(x)-2x的实数根。 若对任意的闭区间[a,b]R,总存在x0∈(a,b)使等式f(b)-f
已知函数f(x)的定义域为R,且对任意的实数x,导函数f(x)满足0<f’(x)<2,且f’(x)≠1。常数c1为方程f(x)-x=0的实数根,常数c2为方程f(x)-2x的实数根。 若对任意的闭区间[a,b]R,总存在x0∈(a,b)使等式f(b)-f
admin
2014-12-22
39
问题
已知函数f(x)的定义域为R,且对任意的实数x,导函数f(x)满足0<f’(x)<2,且f’(x)≠1。常数c
1
为方程f(x)-x=0的实数根,常数c
2
为方程f(x)-2x的实数根。
若对任意的闭区间[a,b]
R,总存在x
0
∈(a,b)使等式f(b)-f(a)=(b-a)f’(x
0
)成立。求证:方程f(x)-x=0不存在异于c
1
的实数根;
选项
答案
证明:假设存在实数c
0
,c
1
≠c
0
且f(c
0
)-c
0
=0。 不妨设C
0
<c
1
,则存在c
3
∈(c
0
,c
1
) 使等式f(c
1
)-f(c
0
)=(c
1
-c
0
)f’(c
3
)成立, 即f(c<
解析
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0
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