设f(t)连续并满足f(t)=cos2t+∫0tf(s)sinsds，求f(t)．

admin2018-11-21 46

问题设f(t)连续并满足f(t)=cos2t+∫₀^tf(s)sinsds，求f(t)．

选项

答案因f(t)连续 → f(s)sinsds可导→f(t)可导．于是，将题设等式两边求导可得 f’(t)=一2sin2t+f(t)sint，即f’(t)一f(t)sint=一2sin2t，又方程中令t=0得f(0)=1．这是一阶线性微分方程的初值问题．将方程两边乘μ=e^-∫sintdt=e^cost可得 [e^costf(t)]’=一4sintcoste^cost．积分得 e^costf(t)=4∫costd(e^cost)=4(cost一1)e^cost+C．由f(0)=1得C=e．因此，f(t)=e^1—cost+4(cost—1)．

解析

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考研数学一

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求下列各微分方程的通解：(Ⅰ)(3x2+6xy2)dx+(6x2y+4y3)dy=0；(Ⅱ)+x2－lnx)dy=0．
求出一个齐次线性方程组，使它的基础解系是η1=(2，一1，1，1)T，η2=(一1，2，4，7)T．
设f(x)在闭区间[a，b]上连续，在开区间(a，b)内可导，且f′(x)≤0．证明函数F(x)=f(t)dt在(a，b)内也有F′(x)≤0．
下列积分中，积分值等于0的是()．
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已知幂级数在x=1处条件收敛，则幂级数的收敛半径为_________。
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