求下列微分方程的通解： (Ⅰ)y′+y=1； (Ⅱ)y′=； (Ⅲ)x2ydx－(x3+y3)dy=0； (Ⅳ)y′=

admin2016-10-26 46

问题求下列微分方程的通解：
(Ⅰ)y′+

y=1；
(Ⅱ)y′=

；
(Ⅲ)x²ydx－(x³+y³)dy=0；
(Ⅳ)y′=

选项

答案(Ⅰ)这是一阶线性非齐次微分方程，两边同乘[*]，得 [*] 积分得 y=x²[*]+x²，其中C为任意常数． (Ⅱ)注意到如果将x看作y的函数，则该方程可改写为[*]－yx=y³，这也是一个一阶线性非齐次方程，两边同乘μ=e^∫－ydy=[*]得[*]．积分得 x=[*]－y²－2，其中C为任意常数． (Ⅲ)显然这是一个齐次方程，利用齐次方程的解法可以得到其通解．这里若将x看作y的函数，原方程可改写为[*]．这还是一个伯努利方程．令u=x³，原方程又可改写为[*]u=3y²．而[*]，于是两边同乘μ=[*]dy+C=3ln｜y｜+C，即x³=Cy³+3y³ln｜y｜，其中C为任意常数． (Ⅳ)这是伯努利方程，此方程可改写为2yy′=[*] [*]．即得通解为 y²=C(x－1)－(x－1)ln｜x－1｜+1，其中C为任意常数．

解析

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考研数学一

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求下列微分方程的通解： (Ⅰ)y′+y=1； (Ⅱ)y′=； (Ⅲ)x2ydx－(x3+y3)dy=0； (Ⅳ)y′=

考研数学一

求下列已知曲线围成的平面图形绕指定的轴旋转而形成的旋转体的体积：(1)xy＝a2，y＝0，x＝a，x＝2a(a＞0)绕x轴和y轴；(2)x2＋(y－2)2＝1，绕x轴；(3)y＝lnx，y＝0，x＝e，绕x轴和y轴；(4)x2＋y2＝4，

求微分方程y"-2y’-e2x=0满足条件y(0)=1，y’(0)=1的解．

互不相容事件与对立事件的区别何在?说出下列各对事件之间的关系：“20件产品全是合格品”与“20件产品中至少有一件是废品”；

质点P沿着以AB为直径的半圆周，从点A(1，2)运动到点B(3，4)的过程中受变力F作用（如图），F的大小等于点P与原点O之间的距离，其方向垂直于线段OP与y轴正向的夹角小于π/2，求变力F对质点P所作的功．

依题设，置信区间的长度为2[*]

曲面(z－a)ψ(x)＋(z－b)φ(y)＝0与x2＋y2＝1，z＝0所围立体的体积V＝________(其中φ为连续正值函数，a＞0，b＞0)．

汽车沿某街道行驶，需通过三个设有红绿灯的交通道口，已知道口信号灯之间相互独立，且红绿信号显示时间相等，以X表示该车首次遇到红灯前所通过的道口数，求随机变量X的概率分布．

设矩阵A，B满足ABA=2BA-8E，其中E为单位矩阵，A为A的伴随矩阵，则B=________．

设总体X的概率密度为p(x，λ)=，其中λ＞0为未知参数，α＞0是已知常数，试根据来自总体X的简单随机样本X1，X2，…，X，求λ的最大似然估计量λ．

试述太平天国农民战争的意义。

阅读《答李翊书》中的一段文字，然后回答问题。气，水也；言，浮物也。水大而物之浮者大小毕浮。气之与言犹是也，气盛则言之短长与声之高下者皆宜。……“气”和“言”指的是什么?

关于犯罪嫌疑人、被告人逃匿、死亡案件违法所得的没收程序，下列哪一说法是正确的?(2012年试卷2第38题)

以下对爆破作业描述不正确的是()。(1)雷雨季节宜采用电雷管起爆法起爆。(2)炸药反应不完全时，不会引起有毒气体含量增加。(3)同一爆破网络应使用同厂、同批、同型号的电雷管。(4)处理盲炮时进行安全警戒。

行业的成长实际上是指(　　)。

企业会计方法和程序前后各期(　　)。

根据《企业所得税法》及其实施条例的有关规定，不得提取折旧的固定资产是()。

出境旅游领队带领旅游团入中国境的服务包括()

(2015·河南)既是课程标准的具体化，也是师生进行教学的主要依据的是教科书。()

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