2. 考研
  3. 已知三元二次型xTAx的平方项系数都为0，α=（1，2，—1）T满足Aα=2α． ①求xTAx的表达式． ②求作正交变换x=Qy，把xTAx化为标准二次型。

已知三元二次型xTAx的平方项系数都为0，α=（1，2，—1）T满足Aα=2α． ①求xTAx的表达式． ②求作正交变换x=Qy，把xTAx化为标准二次型。

admin2017-11-22  78
问题 已知三元二次型xTAx的平方项系数都为0，α=（1，2，—1）T满足Aα=2α．
①求xTAx的表达式．
②求作正交变换x=Qy，把xTAx化为标准二次型。
选项
答案①设[*] 则条件Aα=2α即 [*] 得2a—b=2，a—c=4，b+2c=—2，解出a=b=2，c=—2． 此二次型为4x1x2+4x1x3— 4x2x3． ②先求A特征值 [*] 于是A的特征值就是2，2，—4． 再求单位正交特征向量组 属于2的特征向量是（A— 2E）x=0的非零解． [*] 得（A— 2E）x=0的同解方程组：x1—x2—x3=0． 显然β1=(1，1，0)T是一个解，设第二个解为β2=（1，—1，c）T（这样的设定保证了两个解是正交的！），代入方程得c=2，得到属于特征值2的两个正交的特征向量β1，β2．再把它们单位化： 记η1=β1/ ||β1||=[*]β1，η2=β2/||β2||=[*] 属于—4的特征向量是(A+4E)x=0的非零解，求出β3=（1，—1，—1）T是一个解，单位化： 记η3=β3/||β3||=[*]β3． 则η3，η2，η3是A的单位正交特征向量组，特征值依次为2，2，—4． 作正交矩阵Q=（η3，η2，η3），则Q—1AQ是对角矩阵，对角线上的元素为2，2，—4． 作正交变换x= Qy，它把f(x1，x2，x3)化为2y12+2y22—4y32．
解析
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考研数学三

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