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设A为n阶实对称矩阵,秩(A)=n,Aij是A=(aij)n×n中元素aij的代数余子式(i,j=1,2,…,n),二次型f(x1,x2,…,xn)=xixj. 二次型g(X)=XTAX与f(X)的规范形是否相同?说明理由.
设A为n阶实对称矩阵,秩(A)=n,Aij是A=(aij)n×n中元素aij的代数余子式(i,j=1,2,…,n),二次型f(x1,x2,…,xn)=xixj. 二次型g(X)=XTAX与f(X)的规范形是否相同?说明理由.
admin
2019-07-16
188
问题
设A为n阶实对称矩阵,秩(A)=n,A
ij
是A=(a
ij
)
n×n
中元素a
ij
的代数余子式(i,j=1,2,…,n),二次型f(x
1
,x
2
,…,x
n
)=
x
i
x
j
.
二次型g(X)=X
T
AX与f(X)的规范形是否相同?说明理由.
选项
答案
1 因为 (A
-1
)
T
AA
-1
=(A
T
)
-1
E=A
-1
所以A与A
-1
合同,于是g(X)=X
T
AX与f(X)有相同的规范形. 2 对二次型g(X)=X
T
AX作可逆线性变换X=A
-1
Y,其中y=(y
1
,y
2
,…,y
n
)
T
,则g(X)=X
T
AX=(A
-1
Y)
T
A(A
-1
Y)=Y
T
(A
-1
)
T
AA
-1
Y=Y
T
A
-1
y,由此得知A与A
-1
合同,于是f(X)与g(X)必有相同的规范形. 解3设A的全部特征值为λ
1
,λ
2
,…,λ
n
,则A
-1
的全部特征值为1/λ
1
,1/λ
2
,…,1/λ
n
. 可见A与A
-1
的特征值中为正及为负的个数分别相同,因而二次型g(X)=X
T
AX与二次型f(X)=X
T
A
-1
X的标准形中系数为正和系数为负的项数分别相同,从而知g(X)与f(X)有相同的规范形.
解析
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考研数学三
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