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设f(x)在[0,1]上具有二阶导数,且满足条件|f(x)|≤a,|f″(x)|≤b,其中a,b都是非负常数,c是(0,1)内任意一点。证明|f′(c)|≤2a+。
设f(x)在[0,1]上具有二阶导数,且满足条件|f(x)|≤a,|f″(x)|≤b,其中a,b都是非负常数,c是(0,1)内任意一点。证明|f′(c)|≤2a+。
admin
2018-12-29
44
问题
设f(x)在[0,1]上具有二阶导数,且满足条件|f(x)|≤a,|f″(x)|≤b,其中a,b都是非负常数,c是(0,1)内任意一点。证明|f′(c)|≤2a+
。
选项
答案
对f(x)在x=c处应用泰勒公式,展开可得 f(x)=f(c)+f′(c)(x—c)+[*](x—c)
2
, (1) 其中ξ=c+θ(x—c),0<θ<1。 在(1)式中令x=0,则有 f(0)=f(c)+f′(c)(0—c)+[*](0—c)
2
,0<ξ
1
<c<1, 在(1)式中令x=1,则有 f(1)=f(c)+f′(c)(1—c)+[*](1—c)
2
,0<c<ξ
2
<1, 将上述的两个式子相减得到 f(1)—f(0)=f′(c)+[*][f″(ξ
2
)(1—c)
2
—f″(ξ
1
)c
2
], 因此 |f′(c)|=|f(1)—f(0)—[*][f″(ξ
2
)(1—c)
2
—f″(ξ
1
)c
2
} ≤|f(1)|+|f(0)|+[*]|f″(ξ
2
)|(1—c)
2
+[*]|f″(ξ
1
)|c
2
≤2a+[*](1—c)
2
+c
2
。 又因当c∈(0,1)时,有(1—c)
2
+c
2
≤1,所以|f′(c)|≤2a+[*]。
解析
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考研数学一
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