2. 考研
  3. 设f(x)在[0，1]上具有二阶导数，且满足条件｜f(x)｜≤a，｜f″(x)｜≤b，其中a，b都是非负常数，c是(0，1)内任意一点。证明｜f′(c)｜≤2a+。

设f(x)在[0，1]上具有二阶导数，且满足条件｜f(x)｜≤a，｜f″(x)｜≤b，其中a，b都是非负常数，c是(0，1)内任意一点。证明｜f′(c)｜≤2a+。

admin2018-12-29  48
问题 设f(x)在[0，1]上具有二阶导数，且满足条件｜f(x)｜≤a，｜f″(x)｜≤b，其中a，b都是非负常数，c是(0，1)内任意一点。证明｜f′(c)｜≤2a+。
选项
答案对f(x)在x=c处应用泰勒公式，展开可得 f(x)=f(c)+f′(c)(x—c)+[*](x—c)2， (1) 其中ξ=c+θ(x—c)，0＜θ＜1。 在(1)式中令x=0，则有 f(0)=f(c)+f′(c)(0—c)+[*](0—c)2，0＜ξ1＜c＜1， 在(1)式中令x=1，则有 f(1)=f(c)+f′(c)(1—c)+[*](1—c)2，0＜c＜ξ2＜1， 将上述的两个式子相减得到 f(1)—f(0)=f′(c)+[*][f″(ξ2)(1—c)2—f″(ξ1)c2]， 因此 ｜f′(c)｜=｜f(1)—f(0)—[*][f″(ξ2)(1—c)2—f″(ξ1)c2} ≤｜f(1)｜+｜f(0)｜+[*]｜f″(ξ2)｜(1—c)2+[*]｜f″(ξ1)｜c2 ≤2a+[*](1—c)2+c2。 又因当c∈(0，1)时，有(1—c)2+c2≤1，所以｜f′(c)｜≤2a+[*]。
解析
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考研数学一

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