首页
外语
计算机
考研
公务员
职业资格
财经
工程
司法
医学
专升本
自考
实用职业技能
登录
考研
设矩阵 矩阵B=(kE+A)2,其中k为实数,E为单位矩阵.求对角矩阵A,使B与A相似;并求k为何值时,B为正定矩阵.
设矩阵 矩阵B=(kE+A)2,其中k为实数,E为单位矩阵.求对角矩阵A,使B与A相似;并求k为何值时,B为正定矩阵.
admin
2018-07-26
120
问题
设矩阵
矩阵B=(kE+A)
2
,其中k为实数,E为单位矩阵.求对角矩阵A,使B与A相似;并求k为何值时,B为正定矩阵.
选项
答案
由 |λE-A| [*] =λ(λ-2)
2
=0 得A的特征值为λ
1
=λ
2
=2,λ
3
=0. 记对角矩阵 [*] 因A是实对称矩阵,故存在正交矩阵P,使得 P
-1
AP=P
T
AP=D 所以A=PDP
-1
于是 B=(kE+A)
2
=(kPP
-1
+PDP
-1
)
2
=[P(kE+D)P
-1
]
2
=P(kE+D)P
-1
P(kE+D)P
-1
=P(kE+D)
2
P
-1
[*] 由此可得 [*] 亦可由A的特征值为:2,2,0,得kE+A的特征值为:k+2,k+2,k,进而得B=(kE+A)
2
的特征值为:(k+2)
2
,(k+2)
2
,k
2
,从而得实对称矩降B相似于对角阵A. 由上面的结果立刻得到:当k≠-2,且k≠0时,B的特征值均为正数,这时B为正定矩阵.
解析
本题主要考查实对称矩阵及其多项式相似于对角矩阵的问题.注意,若方阵A相似于对角阵,则A的多项也必相似于对角阵.事实上,若存在可逆矩阵P,使
P
-1
AP=D
则对任意正整数m,有P
-1
A
m
P=(P
-1
AP)
m
=D
m
由此可知A的任一多项式也必相似于对角阵.例如,由
P
-1
(A
3
+2A-3E)P=P
-1
A
3
P+2P
-1
AP-3E
即知A的多项式A
3
+2A-3E相似于对角阵.本题第1种解法就是这个思想.
另外,B为实对称矩阵,所以B必相似于对角阵A,而且A的主对角线元素就是B的全部特征值,因而,只要求出了B的全部特征值,也就求出了对角阵A.这就是本题第2种解法的思想.
还需注意,本题只要求求出B的相似对角矩阵,不必求出相似变换的矩阵P.
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/1HW4777K
0
考研数学三
相关试题推荐
设A,B均为n阶矩阵,E+AB可逆,化简(E+BA)[E-B(E+AB)-1A].
设f(x)是在(-∞,+∞)上连续且以T为周期的周期函数,求证:方程f(x)-的闭区间上至少有一个实根.
求微分方程x(y2-1)dx+y(x2-1)dy=0的通解.
已知β可用α1,α2,…,αm线性表示,但不能用α1,α2,…,αm-1表出,试判断:(Ⅰ)αm能否用α1,α2,…,αm-1,β线性表示;(Ⅱ)αm能否用α1,α2,…,αm-1线性表示,并说明理由.
设A是m×n矩阵,B是n×P矩阵,如AB=0,则r(A)+r(B)≤n.
向量组α1=(1,-1,3,0)T,α2=(-2,1,a,1)T,α3=(1,1,-5,-2)T的秩为2,则a=______.
已知A,B,C都是行列式值为2的3阶矩阵,则D==_______.
设矩阵A=有一个特征值是3,求γ,并求可逆矩阵P,使(AP)T(AP)为对角矩阵.
曲线y=的渐近线方程为_______.
设A是n阶可逆矩阵,且A与A-1的元素都是整数,证明:|A|=±1.
随机试题
下面谱例为某合唱曲片段,其中不协和音程的数量是()。
天南星的功效是
有关会阴湿热敷溶液的温度及药液浓度,下列正确的是
中国特色社会主义伟大旗帜,具有强大的()
函数y=x3一6x上切线平行于X轴的点是()。
A、B企业签订一份运输合同,运输费用4万元,装卸费用0.5万元,该合同应纳印花税()。
有一个A(2)×B(2)的实验设计结果如下图,对该结果最可能的描述是()。
简单评价多元智力理论及其意义。
PhilanthropyIthasbecomeanAmericantraditionthatthosewhoattaingreatwealthreturnsomeofittothepublicthrough
Thesecretaryworkedlateintothenight,(prepare)______alongspeechforthepresident.
最新回复
(
0
)