已知矩阵相似． (Ⅰ)求x，y，z的值； (Ⅱ)求可逆矩阵P，使P-1AP=B．

admin2019-08-21 36

问题已知矩阵

相似．
(Ⅰ)求x，y，z的值；
(Ⅱ)求可逆矩阵P，使P^-1AP=B．

选项

答案(Ⅰ)实对称矩阵A的特征多项式为｜λE—A｜=(λ—1)²(λ一3)，故A的特征值为λ₁=λ₂=1，λ₃=3．于是，A与对角矩阵[*]相似，又因为A与B相似，故B也与对角矩阵[*]相似，因此，B的特征值为λ₁=λ₂=1，λ₃=3，且R(E一B)=1，又因为x+5=λ₁+λ₂+λ₃=5，得x=0．由 [*] 得y=-2，z=3． (Ⅱ)经计算可知，将实对称矩阵A化为对角矩阵的相似变换矩阵，可取为[*]即 [*] 把矩阵B化为对角矩阵的相似变换矩阵，可取为[*]即 [*]

解析将A，B分别与同一个对角阵相似，再由相似的传递性，可得A，B相似．
错例分析:许多考生直接求可逆矩阵P，导致做题思路出问题．

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考研数学二

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