2. 考研
  3. 已知矩形的周长为2p，将它绕其中一边旋转一周而构成一旋转体(圆柱体)，求该圆柱体体积最大时的半径与高．

已知矩形的周长为2p，将它绕其中一边旋转一周而构成一旋转体(圆柱体)，求该圆柱体体积最大时的半径与高．

admin2018-08-22  62
问题 已知矩形的周长为2p，将它绕其中一边旋转一周而构成一旋转体(圆柱体)，求该圆柱体体积最大时的半径与高．
选项
答案设该旋转体的半径为x，高为y，则x+y=p．该圆柱体体积V=πyx2． 方法一化成一元函数极值问题． V=πyx2=π(p一x)x2=πpx2一πx3，0＜x＜p． V’=2πpx一3πx2， V"=2πp一6πx． 令V’=0，得[*] 所以当半径[*]时，体积V为极大值，且是唯一驻点，故当[*]时V最大． 方法二 用拉格朗日乘数法，令F(x，y，λ)=πyx2+λ(x+y一p)， 由 [*]有2πxy+λ=0，πx2+λ=0，x+y一p=0． 容易解得唯一解[*]由于存在最大值，故当半径为[*]高为[*]时，该旋转体体积最大．
解析
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考研数学二

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