已知A=可对角化，求可逆矩阵P及对角矩阵Λ，使P－1AP=Λ．

admin2017-06-08 26

问题已知A=

可对角化，求可逆矩阵P及对角矩阵Λ，使P^－1AP=Λ．

选项

答案由特征多项式 [*] 知矩阵A的特征值为λ₁=λ₂=1，λ₃=－2．因为矩阵A可以相似对角化，故r(E－A)=1．而 [*] 所以x=6．当λ=1时，由(E－A)x=0得基础解系α₁=(－2，1，0)^T，α₂=(0，0，1)^T．当λ=－2时，由(－2E－A)x=0得基础解系α₃=(－5，1，3)^T． [*]

解析

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考研数学二

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证明：[*]
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设A为3阶实对称矩阵，且满足条件A2+2A=0，已知A的秩r(A)=2．求A的全部特征值；
设三阶实对称矩阵A的特征值是1，2，3；矩阵A的属于特征值1，2的特征向量分别是α1=(-1，-1，1)T，α2=(1，-2，-1)T．求矩阵A．
设三阶实对称矩阵A的特征值是1，2，3；矩阵A的属于特征值1，2的特征向量分别是α1=(-1，-1，1)T，α2=(1，-2，-1)T．求A的属于特征值3的特征向量．
设二次型f(x1，x2，x3)=xTAX=ax12+2x22-2x32+2bx1x3(6>o)，其中二次型的矩阵A的特征值之和为1，特征值之积为-12．利用正交变换将二次型，化为标准形，并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵．
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