2. 考研
  3. 设线性齐次方程组(2E—A)x=0有通解x=kξ1=k(-1，1，1)T，其中k是任意常数，A是二次型f(x1，x2，x3)=xTAx的对应矩阵，且r(A)=1． (Ⅰ)问η1=(1，1，0)T，η=(1，一1，0)T是否是方程组Ax=0的解向量，

设线性齐次方程组(2E—A)x=0有通解x=kξ1=k(-1，1，1)T，其中k是任意常数，A是二次型f(x1，x2，x3)=xTAx的对应矩阵，且r(A)=1． (Ⅰ)问η1=(1，1，0)T，η=(1，一1，0)T是否是方程组Ax=0的解向量，

admin2016-05-03  81
问题 设线性齐次方程组(2E—A)x=0有通解x=kξ1=k(-1，1，1)T，其中k是任意常数，A是二次型f(x1，x2，x3)=xTAx的对应矩阵，且r(A)=1．
    (Ⅰ)问η1=(1，1，0)T，η=(1，一1，0)T是否是方程组Ax=0的解向量，说明理由；
    (Ⅱ)求二次型f(x1，x2，x3)．
选项
答案(Ⅰ)A是二次型的对应矩阵，故AT=A，由(2E一A)x=0有通解x=kξ1=k(一1，1，1)T，知A有特征值λ=2，且A的对应于λ=2的特征向量为ξ1=(一1，1，1)T．r(A)=1，故知λ=0是A的二重特征值． Ax=0的非零解向量即是A的对应于λ=0的特征向量，其应与对应于λ=2的特征向量ξ1正交，因ξ1η1=(一1，1，1)[*]=0，故η1是Ax=0的解向量，即是A的对应于λ=0的特征向量． 又ξ2η2=(一1，1，1)[*]=一2≠0，故η2不是Ax=0的解向量． (Ⅱ)求二次型即求其对应矩阵． 求对应λ=0的线性无关特征向量．设为ξ=(x1，x2，x3)T，由ξ1ξ=一x1+x2+x3=0，解得ξ2=η1=(1，1，0)T，ξ3=(1，0，1)T(ξ2，ξ3线性无关)，则得 [*]
解析
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考研数学三

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