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  3. 设f(x)在(0，+∞)上有定义，且f’(1)=a(≠0)，又对任意x，y∈(0，+∞)，有f(xy)=f(x)+f(y)，则f(x)=_____________。

设f(x)在(0，+∞)上有定义，且f’(1)=a(≠0)，又对任意x，y∈(0，+∞)，有f(xy)=f(x)+f(y)，则f(x)=_____________。

admin2020-03-10  15
问题 设f(x)在(0，+∞)上有定义，且f’(1)=a(≠0)，又对任意x，y∈(0，+∞)，有f(xy)=f(x)+f(y)，则f(x)=_____________。
选项
答案alnx
解析 在等式f(xy)=f(x)+f(y)中，令y=1，得f(x)=f(x)+f(1)，则f(1)=0，根据导数的定义，取xy为增量，则
            
    因为f’(1)=a，所以故f(x)=alnx+C，其中C为任意常数。
    令x=1，于是f(1)=aln1+C=0，得C=0，因此f(x)=alnx。
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考研数学一

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