设二次型f(x1,x2,x3)=5x12+ax22+3x32-2x1x2+6x1x3-6x2x3的矩阵合同于, (Ⅰ)求常数a; (Ⅱ)用正交变换法化二次型f(x1,x2,x3)为标准形。

admin2021-01-31  52

问题 设二次型f(x1,x2,x3)=5x12+ax22+3x32-2x1x2+6x1x3-6x2x3的矩阵合同于
    (Ⅰ)求常数a;
    (Ⅱ)用正交变换法化二次型f(x1,x2,x3)为标准形。

选项

答案令[*],则f(x1,x2,x3)=XTAX, 因为A与[*]合同,所以rA=2<3,故|A|=0, 由|A|=[*]=3(2a-10)=0,得a=5,A=[*]。 (Ⅱ)由|λE-A|=[*]=λ(λ-4)(λ-9)=0,得λ1=0,λ2=4,λ3=9, 由(0E-A)X=0得ξ1=[*];由(4E-A)X=0得ξ2=[*]; 由(9E-A)X=0得ξ3=[*],单位化得[*]。 令Q=(γ1,γ2,γ3)=[*], X=QY,则f(x1,x2,x3)=XTAX=YT(QTAQ)Y=4y22+9y32

解析
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