设A=I一ξξT，其中I是n阶单位矩阵，ξ是n维非零列向量，ξT是ξ的转置．证明： A2=A的充要条件是ξTξ=1；

admin2018-07-31 487

问题设A=I一ξξ^T，其中I是n阶单位矩阵，ξ是n维非零列向量，ξ^T是ξ的转置．证明：
A²=A的充要条件是ξ^Tξ=1；

选项

答案A²=(I一ξξ^T)(I一ξξ^T)=I一2ξξ^T+ξξ^Tξξ^T =I一2ξξ^T+ξ(ξ^Tξ)ξ=I一2ξξ^T+(ξ^Tξ)ξξ^T =I—(2一ξ^Tξ)ξξ^T A²=A即I—(2一ξ^Tξ)ξξ^T=I一ξξ^T，亦即 (ξ^Tξ一1)ξξ^T=0 因为ξ是非零列向量，有ξξ^T≠O 故A²=A的充要条件是ξ^Tξ一1=0，即ξ^Tξ=1．

解析

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考研数学一

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