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设A=I一ξξT,其中I是n阶单位矩阵,ξ是n维非零列向量,ξT是ξ的转置.证明: A2=A的充要条件是ξTξ=1;
设A=I一ξξT,其中I是n阶单位矩阵,ξ是n维非零列向量,ξT是ξ的转置.证明: A2=A的充要条件是ξTξ=1;
admin
2018-07-31
486
问题
设A=I一ξξ
T
,其中I是n阶单位矩阵,ξ是n维非零列向量,ξ
T
是ξ的转置.证明:
A
2
=A的充要条件是ξ
T
ξ=1;
选项
答案
A
2
=(I一ξξ
T
)(I一ξξ
T
)=I一2ξξ
T
+ξξ
T
ξξ
T
=I一2ξξ
T
+ξ(ξ
T
ξ)ξ=I一2ξξ
T
+(ξ
T
ξ)ξξ
T
=I—(2一ξ
T
ξ)ξξ
T
A
2
=A即I—(2一ξ
T
ξ)ξξ
T
=I一ξξ
T
,亦即 (ξ
T
ξ一1)ξξ
T
=0 因为ξ是非零列向量,有ξξ
T
≠O 故A
2
=A的充要条件是ξ
T
ξ一1=0,即ξ
T
ξ=1.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/2wg4777K
0
考研数学一
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