2. 考研
  3. 设曲线y=f(x)，其中y=f(x)是可导函数，且f(x)＞0．已知曲线y=f(x)与直线y=0，x=1及x=t(t＞1)所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周所得的立体体积值是该曲边梯形面积值的πt倍，求该曲线方程．

设曲线y=f(x)，其中y=f(x)是可导函数，且f(x)＞0．已知曲线y=f(x)与直线y=0，x=1及x=t(t＞1)所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周所得的立体体积值是该曲边梯形面积值的πt倍，求该曲线方程．

admin2016-06-27  158
问题 设曲线y=f(x)，其中y=f(x)是可导函数，且f(x)＞0．已知曲线y=f(x)与直线y=0，x=1及x=t(t＞1)所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周所得的立体体积值是该曲边梯形面积值的πt倍，求该曲线方程．
选项
答案旋转体的体积为V=∫1tπf2(x)dx=πf1tf2(x)dx， 曲边梯形的面积为：s=∫1tf(x)dx，则由题可知 π∫1tf2(x)dx=πt∫1tf(x)dx，即∫1tf2(x)dx=t∫1tf(x)dx． 两边对t求导可得f2(t)=∫1tf(x)dx+tf(t)，即f2(t)一tf(t)=∫1tf(x)dx， (*) 等式两端求导可得2f(t)f’(t)一f(t)一tf’(t)=f(t)，化简可得(2f(t)一t)f’(t)=2f(t)，即[*] 在(*)式中令t=1，则f2(1)一f(1)=0，因为已知f(x)＞0，所以f(1)=1，代入[*] 所以该曲线方程为[*]
解析
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考研数学三

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