计算二重积分I＝＝( )．

admin2016-01-25 34

问题计算二重积分I＝

＝( )．

选项 A、π²／32
B、－π²／32
C、π／16
D、π／4

答案A

解析由所给的二次积分易求出其积分区域如下图所示．由于积分区域为圆域的一部分，且被积函数又为f(x²＋y²)，应使用极坐标求此二重积分．
所给曲线为(y＋1)²＋x²＝1的上半圆周，区域D如下图所示，其直角坐标方程为

(y＋1)²＋x²≤1，即 y²＋x²≤一2y，
将x＝rcosθ，y＝rsinθ代入得到极坐标系下的方程
r²≤一2rsinθ，即 r≤一2sinθ．
于是 D＝｛(r，θ)｜－π／4≤θ≤0，0≤r≤一2sinθ｝，
则

仅(A)入选．

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