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求下列幂级数的和函数:
求下列幂级数的和函数:
admin
2018-06-14
52
问题
求下列幂级数的和函数:
选项
答案
利用逐项求导两次去掉幂级数的通项[*]的分母n(2n+1),化为几何级数求和函数.计算可得幂级数[*]的收敛半径R=1,收敛域是[一1,1],设其和函数为S(x),则 S(x)=[*],一1≤x≤1,且S(0)=0. 为便于利用逐项求导去掉幂级数通项的分母n(2n+1)化为几何级数求和,可引入幂级数[*],这个幂级数的收敛半径也是R=1,收敛域也是[一1,1],设其和函数为S(x),则 S
1
(x)=[*]=xS(x),一1≤x≤1, 且S
1
(0)=S’
1
(0)=0.在开区间(一1,1)内逐项求导两次可得 S"
1
(x)=2[*](—1)
n
x
2n—1
=—2x[*](—x
2
)
n—1
=一[*], 逐项积分就有 S’
1
(x)=∫
0
x
S"
1
(t)dt=一∫
0
x
[*]dt=—ln(1+x
2
),一1<x<1, S
1
(x)=∫
0
x
S’
1
(t)dt=一∫
0
x
ln(1+t
2
)dt=一xln(1+x
2
)+∫
0
x
tdln(1+t
2
) =一xln(1+x
2
)+2∫
0
x
[*]dt=2x一2arctanx—xln(1+x
2
),一1<x<1. 由于幂级数[*]在x=±1都收敛,且函数2x—2arctanx—xln(1+x)在x=±1都连续,故和函数S
1
(x)=2x一2arctanx—xln(1+x)分别在x一1与x=1处也成立.由此即得 [*]
解析
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考研数学三
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