利用变换x＝arctant将方程cos4x＋cos2x(2－sin2x)＋y＝tanx化为y关于t的方程，并求原方程的通解．

admin2019-11-25 73

问题利用变换x＝arctant将方程cos⁴x

＋cos²x(2－sin2x)

＋y＝tanx化为y关于t的方程，并求原方程的通解．

选项

答案[*]＝(1＋t²)[*]， [*]＝[(1＋t²)[*]]’·(1＋t²)＝(1＋t²)²[*]＋2t(1＋t²)[*]，代入已知方程并整理得[*]＋y＝t． [*]＋y＝0的特征方程为λ²＋2λ＋1＝0,特征值为λ₁＝λ₂＝－1, 则[*]＋y＝t的通解为y＝(C₁＋C₂)e^－t＋t－2，故原方程通解为y＝(C₁＋C₂tanx)e^－tanx＋tanx－2(C₁，C₂为任意常数)．

解析

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考研数学三

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[*]
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微分方程xdy—ydx=ydy的通解是______．
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