设f(x)二阶可导，f(0)=0，且f’’(x)＞0．证明：对任意的a＞0，b＞0，有f(a+b)＞f(a)+f(b)．

admin2018-05-25 45

问题设f(x)二阶可导，f(0)=0，且f’’(x)＞0．证明：对任意的a＞0，b＞0，有f(a+b)＞f(a)+f(b)．

选项

答案不妨设a≤b，由微分中值定理，存在ξ₁∈(0，a)，ξ₂∈(b，a+b)，使得 [*] 两式相减得f(a+b)－f(a)－f(b)=[f’(ξ₁)－f’(ξ₁)]a．因为f’’(x)＞0，所以f’(x)单调增加，而ξ₁＜ξ₂，所以f’(ξ₁)＜f’(ξ₂)，故f(a+b)－f(a)－f(b)=[f’(ξ₂)－f’(ξ₁)]a＞0，即 f(a+b)＞f(a)+f(b)．

解析

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