已知3阶矩阵B为非零向量,且B的每一个列向量都是方程组的解, (I)求λ的值; (Ⅱ)证明|B|=0.

admin2020-02-27  46

问题 已知3阶矩阵B为非零向量,且B的每一个列向量都是方程组的解,
(I)求λ的值;
(Ⅱ)证明|B|=0.

选项

答案(I)因|B|≠0,故B中至少有一个非零列向量,依题意,所给齐次方程组非零解,故必有系数行列式[*]由此可得λ=1. (Ⅱ)因B的每一列向量都是原方程的解,故AB=0. 因A≠0,则必有|B|=0.事实上,倘若不然,设|B|≠0,则B可逆,故由AB=0两边右乘B-1,得A=0,这与已知条件矛盾,可见必有|B|=0.

解析
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