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  3. 设函数f(x)满足关系式f"(x)+[f’(x)]2=x，且f’(0)=0，则( )

设函数f(x)满足关系式f"(x)+[f’(x)]2=x，且f’(0)=0，则( )

admin2020-03-02  23
问题 设函数f(x)满足关系式f"(x)+[f’(x)]2=x，且f’(0)=0，则(    )
选项 A、f(0)是f(x)的极大值。
B、f(0)是f(x)的极小值。
C、点(0，f(0))是曲线y=f(x)的拐点。
D、f(0)不是f(x)的极值，点(0，f(0))也不是曲线y=f(x)的拐点。
答案C
解析 令等式f"(x)+[f’(x)]2=x中x=0，得f"(0)=0－[f’(0)]2=0，无法利用极值的第二充分条件进行判定。
    对f"(x)求导数
                     f’"(x)=(x－[f(x)]2)’=1－2f’(x)f"(x)，
  将f’(0)=0代入，有f’"(0)=1，所以由导数定义
              
    从而存在x=0的去心邻域，在此去心邻域内f"(x)与x同号，且当x＜0时，f"(x)＜f"(0)=0，故曲线y=f(x)是凸的，当x＞0时f"(x)＞f"(0)=0，故曲线y=f(x)是凹的，因此点(0，f(0))是曲线y=f(x)的拐点，故选(C)。
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考研数学一

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