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[2008年] 设α，β为三维列向量，矩阵A=ααT+ββT，其中αT，βT分别是α，β的转置．证明： 秩(A)≤2；
[2008年] 设α，β为三维列向量，矩阵A=ααT+ββT，其中αT，βT分别是α，β的转置．证明： 秩(A)≤2；
admin
2019-04-28
65
问题
[2008年] 设α，β为三维列向量，矩阵A=αα
T
+ββ
T
，其中α
T
，β
T
分别是α，β的转置．证明：
秩(A)≤2；
选项
答案
解一 直接利用命题2．2．3．2(5)的结论，有秩(αα
T
)≤1，秩(ββ
T
)≤1．再利用命题2．2．3．1(3)得到秩(A)=秩(αα
T
+ββ
T
)≤秩(αα
T
)+秩(ββ
T
)≤2． 解二 设α，β为三维列向量，且α=[a
1
，a
2
，a
3
]
T
，β=[b
1
，b
2
，b
3
]
T
，则 [*] 故秩(αβ
T
)≤1．因而有秩(αα
T
)≤1，秩(ββ
T
)≤1．于是 秩(A)=秩(αα
T
+ββ
T
)≤秩(αα
T
)+秩(ββ
T
)≤1+1=2． 注：命题2．2．3．2 设A为m×n矩阵．(5)若A=αβ，其中α为m维行向量，β为n维列向量，则秩(A)=秩(αβ
T
)≤1．
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/77P4777K
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考研数学三
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