二次型f(x1，x2，x3)=2x12+3x22+3x32+2ax2x3(a＞0)经过正交变换化为标准形f=y12+2y22+5y32，求参数a及所用的正交变换。

admin2021-11-09 83

问题二次型f(x₁，x₂，x₃)=2x₁²+3x₂²+3x₃²+2ax₂x₃(a＞0)经过正交变换化为标准形f=y₁²+2y₂²+5y₃²，求参数a及所用的正交变换。

选项

答案二次型f的矩阵A=[*]。根据题意可知，矩阵A的三个特征值分别为λ₁=1，λ₂=2，λ₃=5，于是由｜A｜=λ₁λ₂λ₃可得2(9—a²)=10，解得a=2或—2(舍)。当λ₁=1时，解齐次线性方程组(E—A)x=0，得基础解系为ξ₁=(0，1，—1)^T；当λ₂=2时，解齐次线性方程组(2E—A)x=0，得基础解系为ξ₂=(1，0，0)^T；当λ₃=5时，解齐次线性方程组(5E—A)x=0，得基础解系为ξ₃=(0，1，1)^T。因为ξ₁，ξ₂，ξ₃已经是正交向量组，故只需将ξ₁，ξ₂，ξ₃单位化，于是得 [*] 则Q为正交矩阵，且在正交变换x=Qy下，有Q^TAQ=[*]。

解析

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考研数学二

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二次型f(x1，x2，x3)=2x12+3x22+3x32+2ax2x3(a＞0)经过正交变换化为标准形f=y12+2y22+5y32，求参数a及所用的正交变换。

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