考虑一元函数f(x)的下列4条性质： ①f(x)在[a，b]上连续； ②f(x)在[a，b]上可积； ③f(x)在[a，b]上可导； ④f(x)在[a，b]上存在原函数．以P→Q表示由性质P可推出性质Q，则有 ( )

admin2016-05-03 108

问题考虑一元函数f(x)的下列4条性质：
  ①f(x)在[a，b]上连续；
  ②f(x)在[a，b]上可积；
  ③f(x)在[a，b]上可导；
  ④f(x)在[a，b]上存在原函数．
  以P→Q表示由性质P可推出性质Q，则有 ( )

选项 A、①→②→③．
B、③→①→④．
C、①→②→④．
D、④→③→①．

答案B

解析因可导必连续，连续函数必存在原函数，故(B)正确．
(A)不正确．虽然由①(连续)可推出②(可积)，但由②(可积)推不出③(可导)．例如f(x)=｜x｜
在[一1，1]上可积，∫_—1¹｜x｜dx=2∫₀¹xdx=1．但f(x)=｜x｜在x=0处不可导．
(C)不正确．由②(可积)推不出④(存在原函数)，例如

在[—1，1]上可积，则
∫_—1¹f(x)dx=∫_—1¹(—1)dx+∫₀¹1dx=—1+1=0，
但f(x)在[—1，1]上不存在原函数．因为如果存在原函数F(x)，那么只能是F(x)=｜x｜+C的形式，而此函数在点x=0处不可导，在区间[一1，1]上它没有做原函数的“资格”．(D)不正确．因为由④(存在原函数)推不出①(函数连续)．例如：

但f(x)并不连续．即存在原函数的函数f(x)可以不连续．

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考研数学三

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