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已知β1,β2是非齐次线性方程组Ax=b的两个不同的解,α1,α2是对应齐次线性方程组Ax=0的基础解系,k1,k2为任意常数,则方程组Ax=b的通解必是
已知β1,β2是非齐次线性方程组Ax=b的两个不同的解,α1,α2是对应齐次线性方程组Ax=0的基础解系,k1,k2为任意常数,则方程组Ax=b的通解必是
admin
2012-06-28
68
问题
已知β
1
,β
2
是非齐次线性方程组Ax=b的两个不同的解,α
1
,α
2
是对应齐次线性方程组Ax=0的基础解系,k
1
,k
2
为任意常数,则方程组Ax=b的通解必是
选项
A、k
1
α
1
+k
2
(α
1
+α
2
)+(β
1
-β
2
)/2.
B、k
1
α
1
+k
2
(α
1
-α
2
)+(β
1
+β
2
)/2.
C、k
1
α
1
+k
2
(β
1
+β
2
)+(β
1
-β
2
)/2.
D、k
1
α
1
+k
2
(β
1
-β
2
)+(β
1
-β
2
)/2.
答案
B
解析
本题考查解的性质与解的结构.从α
1
,α
2
是Ax=0的基础解系,知Ax=b的通解形式为
k
1
η
1
+k
2
η
1
+ξ,
其中,η
1
,η
2
是Ax=0的基础解系,ξ是Ax=b的解.
由解的性质知:α
1
,α
1
+α
2
,(β
1
-β
2
)/2,α
1
-α
2
,β
1
-β
2
都是Ax=0的解,(β
1
+β
2
)是Ax=b的解.
那么(A)中没有特解ξ,(C)中既没有特解ξ,且β
1
+β
2
也不是Ax=0的解.(D)中虽有特解,但
α
1
,β
1
-β
2
的线性相关性不能判定,故(A)、(C)、(D)均不正确.
唯(B)中,(β
1
-β
2
)/2是Ax=b的解,α
1
,α
1
+α
2
是Ax=0的线性无关的解,是基础解系.故应选(B).
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考研数学三
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