设D=为正定矩阵，其中A，B分别为m阶，n阶对称矩阵．C为m×n矩阵． (1)计算PTDP，其中P=，(Ek为k阶单位矩阵)； (2)利用(1)的结果判断矩阵B—CTA—1C是否为正定矩阵，并证明你的结论．

admin2016-04-11 105

问题设D=

为正定矩阵，其中A，B分别为m阶，n阶对称矩阵．C为m×n矩阵．
(1)计算P^TDP，其中P=

，(E_k为k阶单位矩阵)；
(2)利用(1)的结果判断矩阵B—C^TA^—1C是否为正定矩阵，并证明你的结论．

选项

答案(1)P^TDP=[*]。(2)矩阵B-C^TA^-1C是正定矩阵。证明：由(1)的结果知D合同于矩阵M=[*]，又D为正定矩阵，所以M为正定矩阵.因M为对称矩阵，故B—C^TA^-1C为对称矩阵．由M正定，知对m维零向量x=(0，0，…，0)^T及任意的n维非零向量y=(y₁，y₂，…，y_n)^T，有 [*] 故对称矩阵B—C^TA^-1C为正定矩阵．

解析

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考研数学一

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设D=为正定矩阵，其中A，B分别为m阶，n阶对称矩阵．C为m×n矩阵． (1)计算PTDP，其中P=，(Ek为k阶单位矩阵)； (2)利用(1)的结果判断矩阵B—CTA—1C是否为正定矩阵，并证明你的结论．

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