已知A是3阶实对称矩阵，满足A4+2A3+A2+2A=O，且秩r(A)=2，求矩阵A的全部特征值，并求秩r(A+E)．

admin2016-03-05 39

问题已知A是3阶实对称矩阵，满足A⁴+2A³+A²+2A=O，且秩r(A)=2，求矩阵A的全部特征值，并求秩r(A+E)．

选项

答案设λ是矩阵A的任一特征值，α是属于特征值λ的特征向量，则Aα=λα(α≠0)，于是Aⁿα=λⁿα那么用α右乘A⁴+2A³+A²+2A=0，得(λ⁴+2λ³+λ²+2λ)α=0．因为特征向量α≠0，故λ⁴+2λ³+λ²+2λ=λ(λ³+2λ²+λ+2)=λ(λ+2)(λ²+1)=O．由于实对称矩阵的特征值必是实数，从而矩阵A的特征值是0或一2．由于实对称矩阵必可相似对角化，且秩r(A)=r(A)=2，所以A的特征值是0，一2，一2．因A—A，则有[*]所以r(A+E)=r(A+E)=3．

解析

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