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设随机变量X与Y相互独立,且都在[0,1]上服从均匀分布,试求: (Ⅰ)U=XY的概率密度fU(u); (Ⅱ)V=|X-Y|的概率密度fV(v).
设随机变量X与Y相互独立,且都在[0,1]上服从均匀分布,试求: (Ⅰ)U=XY的概率密度fU(u); (Ⅱ)V=|X-Y|的概率密度fV(v).
admin
2016-10-20
40
问题
设随机变量X与Y相互独立,且都在[0,1]上服从均匀分布,试求:
(Ⅰ)U=XY的概率密度f
U
(u); (Ⅱ)V=|X-Y|的概率密度f
V
(v).
选项
答案
由于X与Y相互独立且密度函数已知,因此我们可以用两种方法:分布函数法与公式法求出U、V的概率密度. (Ⅰ)分布函数法.由题设知(X,Y)联合概率密度 [*] 所以U=xY的分布函数为(如图3.3) [*] 当u≤0时,F
U
(u)=0;当u≥1时,F
U
(u)=1;当0<u<1时, [*] (Ⅱ)分布函数法.由题设知 [*] 所以V=|X-Y|的分布函数F
V
(v)=P{|X-Y|≤v}. 当v≤0时,F
V
(v)=0;当v>0时, F
V
(v)=P{|X-Y|≤v}=P{-v≤X-Y≤v} [*] 由图3.4知,当v≥l时,F
V
(v)=1;当0<v<1时, [*] 其中 D={(x,y):0≤x≤1,0≤y≤1,|x-y|≤v}. 综上得[*]
解析
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考研数学三
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