设，若方程组(2E+A)x=0存在非零解，求a的值，并求正交矩阵P，使P-1A2P=A．

admin2021-02-25 28

问题设

，若方程组(2E+A)x=0存在非零解，求a的值，并求正交矩阵P，使P^-1A²P=A．

选项

答案由｜2E+A｜=0[*]9(a-6)=0[*]a=6．由｜λE-A｜=(λ-7²)(λ+2)=0[*]λ₁=λ₂=7，λ₃=-2．再将λ₁=λ₂=7，λ₃=-2分别代入(λE+A)x=0解得依次对应的一个特征向量为α₁=(1，-2，0)^T，α₂=(1，0， -1)^T，α₃=(2，1，2)^T．将α₁，α₂正交化β₁=α₁，[*]，再单位化β₁，β₂，α₃： [*] 令P=(p₁，p₂，p₃)，则p为正交矩阵，于是 [*]

解析本题主要考查用正交变换将矩阵化成对角矩阵．先由齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是其系数行列式为零，由此求出参数a的值，再由常规方法用正交矩阵将A²化为对角矩阵．

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考研数学二

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