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设实矩阵A=(aij)n×n的秩为n一1,αi为A的第i个行向量(i=1,2,…,n).求一个非零向量x∈Rn,使x与α1,α2,…,αn均正交.
设实矩阵A=(aij)n×n的秩为n一1,αi为A的第i个行向量(i=1,2,…,n).求一个非零向量x∈Rn,使x与α1,α2,…,αn均正交.
admin
2017-07-26
78
问题
设实矩阵A=(a
ij
)
n×n
的秩为n一1,α
i
为A的第i个行向量(i=1,2,…,n).求一个非零向量x∈R
n
,使x与α
1
,α
2
,…,α
n
均正交.
选项
答案
欲求与A的行向量都正交的非零向量,即求齐次线性方程组Ax=0的非零解,因为r(A)=n—1<n,所以n元齐次线性方程组Ax=0必有非零解. 因为r(A)=n—1,即A中非零子式的最高阶数为n—1,故|A|中存在某元素a
ij
的代数余子式 A
ij
≠0(记元素a
ij
的代数余子式为A
ij
,i,j=1,2,…,n).于是向量 ξ=(A
k1
,A
k2
,…,A
kn
)
T
≠0, 由行列式的展开法则,有 [*] 故x
1
=A
k1
,x
2
=A
k2
,…,x
n
=A
kn
满足方程组Ax=0的每个方程[*]a
ij
x
j
=0(i=1,2,…,n),即非零向量ξ是Ax=0的一个解,故ξ就是所求的一个向量.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/65H4777K
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考研数学三
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