2. 考研
  3. 设实矩阵A=(aij)n×n的秩为n一1，αi为A的第i个行向量(i=1，2，…，n)．求一个非零向量x∈Rn，使x与α1，α2，…，αn均正交．

设实矩阵A=(aij)n×n的秩为n一1，αi为A的第i个行向量(i=1，2，…，n)．求一个非零向量x∈Rn，使x与α1，α2，…，αn均正交．

admin2017-07-26  79
问题 设实矩阵A=(aij)n×n的秩为n一1，αi为A的第i个行向量(i=1，2，…，n)．求一个非零向量x∈Rn，使x与α1，α2，…，αn均正交．
选项
答案欲求与A的行向量都正交的非零向量，即求齐次线性方程组Ax=0的非零解，因为r(A)=n—1＜n，所以n元齐次线性方程组Ax=0必有非零解． 因为r(A)=n—1，即A中非零子式的最高阶数为n—1，故｜A｜中存在某元素aij的代数余子式 Aij≠0(记元素aij的代数余子式为Aij，i，j=1，2，…，n)．于是向量 ξ=(Ak1，Ak2，…，Akn)T≠0， 由行列式的展开法则，有 [*] 故x1=Ak1，x2=Ak2，…，xn=Akn满足方程组Ax=0的每个方程[*]aijxj=0(i=1，2，…，n)，即非零向量ξ是Ax=0的一个解，故ξ就是所求的一个向量．
解析
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考研数学三

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