设3阶实对称矩阵A满足A2=2A，已知二次型f(x1，x2，x3)=xTAx经正交变换x=Qy化为λy22+λy32(λ≠0)，其中Q=(b＞0，c＞0)．求矩阵A；

admin2022-04-27 56

问题设3阶实对称矩阵A满足A²=2A，已知二次型f(x₁，x₂，x₃)=x^TAx经正交变换x=Qy化为λy₂²+λy₃²(λ≠0)，其中Q=

(b＞0，c＞0)．
求矩阵A；

选项

答案由已知，设A的特征值λ对应的特征向量为α(α≠0)，则由A²=2A，可知 (A²-2A)α=(λ²-2λ)α=0．故A的特征值为0或2．由标准形为λy₂²+λy₃²，知A的特征值为λ₁=0，λ₂=λ₃=2．故Q^-1AQ=diag(0，2，2)，即 [*]

解析

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考研数学三

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