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  3. 设空间中有三个平面 a1x+b1y+c1z+d1=0， a2x+b2y+c2z+d2=0， a3x+b3y+c3z+d3=0， 求r()．

设空间中有三个平面 a1x+b1y+c1z+d1=0， a2x+b2y+c2z+d2=0， a3x+b3y+c3z+d3=0， 求r()．

admin2020-03-05  39
问题 设空间中有三个平面
a1x+b1y+c1z+d1=0，
a2x+b2y+c2z+d2=0，
a3x+b3y+c3z+d3=0，
求r()．
选项
答案记αi=(ai，bi，ci) (i=1，2，3)是平面的法向量，A=[*]是方程组的系数矩阵，[*]是增广矩阵，βi=(ai，bi，ci，di)是αi的延伸向量． (Ⅰ)平面两两不平行，有且仅有一个公共点的充要条件是r(A)=r[*]=3． 这可从方程组有唯一解来推导，亦可从法向量来看，这时的三个法向量不共面，因而α1，α2，α3线性无关，即r(A)=3，αi延伸后βi仍线性无关．故r[*]=3． (Ⅱ)三个平面两两相交，围成一个三棱柱的充要条件是α1，α2，α3线性相关，但任两个线性无关，且r[*]=3． 法向量在与三棱柱的棱垂直的平面上，因而α1，α2，α3共面，但不共线，因此α1，α2，α3线性相关，但任两个线性无关，从而r(A)=2，此时方程组无解，r[*]=3． (Ⅲ)三个平面两两不平行，并有一条公共直线的充要条件是α1，α2，α3线性相关，但任两个线性无关，且r[*]=2． (Ⅳ)有两个平面平行(不重合)，第三个平面与它们相交的充要条件是α1，α2线性相关，但α3不能用α1，α2线性表出，且r[*]=3． (Ⅴ)有两个平面重合，第三个平面与它们相交的充要条件是β1，β2线性相关，但α3不能用α1，α2线性表出，且r[*]=2． [*]
解析
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考研数学一

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