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设空间中有三个平面 a1x+b1y+c1z+d1=0, a2x+b2y+c2z+d2=0, a3x+b3y+c3z+d3=0, 求r().
设空间中有三个平面 a1x+b1y+c1z+d1=0, a2x+b2y+c2z+d2=0, a3x+b3y+c3z+d3=0, 求r().
admin
2020-03-05
38
问题
设空间中有三个平面
a
1
x+b
1
y+c
1
z+d
1
=0,
a
2
x+b
2
y+c
2
z+d
2
=0,
a
3
x+b
3
y+c
3
z+d
3
=0,
求r(
).
选项
答案
记α
i
=(a
i
,b
i
,c
i
) (i=1,2,3)是平面的法向量,A=[*]是方程组的系数矩阵,[*]是增广矩阵,β
i
=(a
i
,b
i
,c
i
,d
i
)是α
i
的延伸向量. (Ⅰ)平面两两不平行,有且仅有一个公共点的充要条件是r(A)=r[*]=3. 这可从方程组有唯一解来推导,亦可从法向量来看,这时的三个法向量不共面,因而α
1
,α
2
,α
3
线性无关,即r(A)=3,α
i
延伸后β
i
仍线性无关.故r[*]=3. (Ⅱ)三个平面两两相交,围成一个三棱柱的充要条件是α
1
,α
2
,α
3
线性相关,但任两个线性无关,且r[*]=3. 法向量在与三棱柱的棱垂直的平面上,因而α
1
,α
2
,α
3
共面,但不共线,因此α
1
,α
2
,α
3
线性相关,但任两个线性无关,从而r(A)=2,此时方程组无解,r[*]=3. (Ⅲ)三个平面两两不平行,并有一条公共直线的充要条件是α
1
,α
2
,α
3
线性相关,但任两个线性无关,且r[*]=2. (Ⅳ)有两个平面平行(不重合),第三个平面与它们相交的充要条件是α
1
,α
2
线性相关,但α
3
不能用α
1
,α
2
线性表出,且r[*]=3. (Ⅴ)有两个平面重合,第三个平面与它们相交的充要条件是β
1
,β
2
线性相关,但α
3
不能用α
1
,α
2
线性表出,且r[*]=2. [*]
解析
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考研数学一
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