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  3. 设函数f(x)具有2阶导数，g(x)=f(0)(1-x)+f(1)x，则在区间[0，1]上

设函数f(x)具有2阶导数，g(x)=f(0)(1-x)+f(1)x，则在区间[0，1]上

admin2019-03-11  48
问题 设函数f(x)具有2阶导数，g(x)=f(0)(1-x)+f(1)x，则在区间[0，1]上
选项 A、当f’(x)≥0时，f(x)≥g(x)
B、当f’(x)≥0时，f(x)≤g(x)
C、当f’’(x)≥0时，f(x)≥g(x)
D、当f’’(x)≥0时，f(x)≤g(x)
答案D
解析 【分析一】  由g(x)的表达式可知，g(0)=f(0)，g(1)=f(1)．
即f(x)与g(x)在区间[0，1]的端点函数值相等．
  g(x)=f(0)+[f(1)-(0)]x是一条直线，斜率k=f(1)-f(0)．
  当f’(x)≥0时，说明f(x)单调不减，无法判定f(x)与g(x)的大小．
  当f’’≥0时，f(x)在区间[0，1]上是上凹的，g(x)是连接f(x)两个端点的弦，故g(x)≥f(x)．
  正确选项为(D)．
  【分析二】令ω(x)：f(x)-g(x)==>ω(0)=f(0)-f(0)=0，ω(1)=f(1)-f(1)=0
    在[0，1]上，当f’’(x)≥0时，ω’’(x)=f’’(x)-g’’(x)=f’’(x)≥0==>ω(x)≤0，即f(x)≤g(x)．选(D)．
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考研数学三

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