设A，B为同阶方阵， (1)如果A，B相似，试证A，B的特征多项式相等． (2)举一个二阶方阵的例子说明(1)的逆命题不成立． (3)当A，B均为实对称矩阵时，试证(1)的逆命题成立．

admin2016-04-11 41

问题设A，B为同阶方阵，
(1)如果A，B相似，试证A，B的特征多项式相等．
(2)举一个二阶方阵的例子说明(1)的逆命题不成立．
(3)当A，B均为实对称矩阵时，试证(1)的逆命题成立．

选项

答案(1)由A，B相似知，存在可逆方阵P，使P^—1AP=B，故｜λE一B｜=｜λE一P^—1AP｜=｜P^—1λEP一P^—1AP｜ =｜P^—1(λE一A)P｜=｜P^—1｜｜λE一A｜｜P｜ =｜P^—1｜P｜｜λE一A｜=｜λE一A｜ (2)令A=[*]，则有｜λE一A｜=λ²=｜λE—B｜，但A，B不相似．否则，存在可逆矩阵P，使 P^—1AP=B=O。从而A=POP^—1=O，这与A≠O矛盾． (3)由A，B均为实对称矩阵知，A，B均相似于对角阵．若A，B的特征多项式相等，则A与B有相同的特征值，设A(B)的全部特征值为λ₁，λ₂，…，λ_N，则A，B都相似于对角阵 [*] 于是有 (PQ^—1)^—1A(PQ^—1)=B 由PQ^—1可逆知A与B相似．

解析

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考研数学一

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设A，B为同阶方阵， (1)如果A，B相似，试证A，B的特征多项式相等． (2)举一个二阶方阵的例子说明(1)的逆命题不成立． (3)当A，B均为实对称矩阵时，试证(1)的逆命题成立．

考研数学一

设f(x)在[0,1]上二阶可导，且f"(x)＜0，证明：∫01f(x2)dx≤.

设f(x)满足等式xf’(x)－f(x)=,且f(1)=4,则∫01f(x)dx=________.

设A为3阶实对称矩阵，存在可逆矩阵，使得P-1AP=diag(1，2，-1)，A的伴随矩阵A有特征值λ0，对应的特征向量为α=(2，5，-1)T。求正交矩阵Q，使得QTAQ=A。

设f’(x)=4x3+3bx2+2cx+d，已知曲线y=f(sinπx/2)-sinf(x)在(0，y｜x=0)，(1，y｜x=1)处与x轴相切。证明：

设3阶矩阵A有三重特征值1，f(x)=｜xE-A｜-｜A-1｜，则至少存在一点x0∈(0，1)，使得y=f(x)在(x0，f(x0))处的切线()

设在点处，函数f(x，y)=x2+(y-1)2(x≠0)在条件x2/a2+y2+b2=1(a＞0，b＜0)下取得最小值，求a，b的值。

设y=y(x)由x=3t/(1+t3)，y=3t3/(1+t3)确定，则曲线y=y(x)的斜渐近线方程为()

设x=z(x，y)由方程x-z=f(y-z)确定，则dz/dx+dz/dy=()

试求曲线115的拐点，并证明：不论常数a取异于零的何数值，这些拐点总是在一条直线上．

设函数f(x)在[1，+∞)上连续，若由曲线y＝f(x)，直线x＝1，x＝t(t＞1)与x轴所围成的平面图形绕x轴旋转一周所成的旋转体积为V(t)＝π／3[t2f(t)－f(1)]，试求y＝f(x)所满足的微分方程，并求该微分方程满足条件y｜x＝2＝2／9

关节内骨折，病理特点为

A．阴囊B．前额C．前臂D．大腿屈侧E．上臂屈侧皮肤吸收能力最弱的部位是

五行中，水是木的()

根据支付结算法律制度的规定，开证行在决定受理国内信用证业务时，应向申请人收取不低于开证金额()的保证金，并可根据申请人资信情况要求其提供抵押、质押或由其他金融机构出具保函。

就全球而言，旅行的发展在较多方面开始具有今天意义上的旅游特点是在()。

A、－3／2B、－2／3C、2／3D、3／2A当x→1时，x25x+4→0，因此故选A．

设常数a＞0，函数g(x)在区间[一a，a]上存在二阶导数，且g"(x)＞0．证明：

Itwasinhischildhoodthathereadmostofthebooks(write)______byMarkTwain.

设A，B为同阶方阵， (1)如果A，B相似，试证A，B的特征多项式相等． (2)举一个二阶方阵的例子说明(1)的逆命题不成立． (3)当A，B均为实对称矩阵时，试证(1)的逆命题成立．

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设f(x)在[0,1]上二阶可导，且f"(x)＜0，证明：∫01f(x2)dx≤.

设f(x)满足等式xf’(x)－f(x)=,且f(1)=4,则∫01f(x)dx=________.

设A为3阶实对称矩阵，存在可逆矩阵，使得P-1AP=diag(1，2，-1)，A的伴随矩阵A*有特征值λ0，对应的特征向量为α=(2，5，-1)T。求正交矩阵Q，使得QTA*Q=A。

设f’(x)=4x3+3bx2+2cx+d，已知曲线y=f(sinπx/2)-sinf(x)在(0，y｜x=0)，(1，y｜x=1)处与x轴相切。证明：

设3阶矩阵A有三重特征值1，f(x)=｜xE-A｜-｜A-1｜，则至少存在一点x0∈(0，1)，使得y=f(x)在(x0，f(x0))处的切线()

设在点处，函数f(x，y)=x2+(y-1)2(x≠0)在条件x2/a2+y2+b2=1(a＞0，b＜0)下取得最小值，求a，b的值。

设y=y(x)由x=3t/(1+t3)，y=3t3/(1+t3)确定，则曲线y=y(x)的斜渐近线方程为()

设x=z(x，y)由方程x-z=f(y-z)确定，则dz/dx+dz/dy=()

试求曲线115的拐点，并证明：不论常数a取异于零的何数值，这些拐点总是在一条直线上．

设函数f(x)在[1，+∞)上连续，若由曲线y＝f(x)，直线x＝1，x＝t(t＞1)与x轴所围成的平面图形绕x轴旋转一周所成的旋转体积为V(t)＝π／3[t2f(t)－f(1)]，试求y＝f(x)所满足的微分方程，并求该微分方程满足条件y｜x＝2＝2／9

关节内骨折，病理特点为

A．阴囊B．前额C．前臂D．大腿屈侧E．上臂屈侧皮肤吸收能力最弱的部位是

五行中，水是木的()

根据支付结算法律制度的规定，开证行在决定受理国内信用证业务时，应向申请人收取不低于开证金额()的保证金，并可根据申请人资信情况要求其提供抵押、质押或由其他金融机构出具保函。

就全球而言，旅行的发展在较多方面开始具有今天意义上的旅游特点是在()。

A、－3／2B、－2／3C、2／3D、3／2A当x→1时，x25x+4→0，因此故选A．

设常数a＞0，函数g(x)在区间[一a，a]上存在二阶导数，且g"(x)＞0．证明：

Itwasinhischildhoodthathereadmostofthebooks(write)______byMarkTwain.

设A为3阶实对称矩阵，存在可逆矩阵，使得P-1AP=diag(1，2，-1)，A的伴随矩阵A有特征值λ0，对应的特征向量为α=(2，5，-1)T。求正交矩阵Q，使得QTAQ=A。