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  3. 设A为n阶矩阵，AT是A的转置矩阵，对于线性方程组（1）Ax=0和（2）ATAx=0，必有（ ）

设A为n阶矩阵，AT是A的转置矩阵，对于线性方程组（1）Ax=0和（2）ATAx=0，必有（ ）

admin2019-07-12  34
问题 设A为n阶矩阵，AT是A的转置矩阵，对于线性方程组（1）Ax=0和（2）ATAx=0，必有（     ）
选项 A、（1）的解是（2）的解，（2）的解也是（1）的解
B、（1）的解是（2）的解，（2）的解不是（1）的解
C、（2）的解是（1）的解，（1）的解不是（2）的解
D、（2）的解不是（1）的解，（1）的解也不是（2）的解
答案A
解析 如果α是（1）的解，有Aα=0，可得
ATAα=AT（Aα）=AT0=0，
即α是（2）的解。故（1）的解必是（2）的解。
反之，若α是（2）的解，有ATAα=0，用αT左乘可得
0=αT0=αT（ATAα）=（αTAT）（Aα）=（Aα）T（Aα），
若设Aα=（b1，b2，…，bn），那么
（Aα）T（Aα）=b12+b22+…+bn2=0
bi=0（i=1，2，…，n），
即Aα=0，说明α是（1）的解。因此（2）的解也必是（1）的解。所以应选A。
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考研数学三

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