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设直线L:(x-1)/1=y/1=(z-1)/(-1)及π:x-y+2z-1=0. (1)求直线L在平面π上的投影直线L0; (2)求L绕y轴旋转一周所成曲面的方程.
设直线L:(x-1)/1=y/1=(z-1)/(-1)及π:x-y+2z-1=0. (1)求直线L在平面π上的投影直线L0; (2)求L绕y轴旋转一周所成曲面的方程.
admin
2021-12-14
30
问题
设直线L:(x-1)/1=y/1=(z-1)/(-1)及π:x-y+2z-1=0.
(1)求直线L在平面π上的投影直线L
0
;
(2)求L绕y轴旋转一周所成曲面的方程.
选项
答案
(1)方法一 令(x-1)/1=y/1=(z-1)/-1=t,即x=1+t,y=t,z=1-t,将x=1+t,y=t,z=1-t代入平面x-y+2z-1=0,解得t=1,从而直线L与平面π的交点为M
1
(2,1,0). 过直线L且垂直于平面π的平面法向量为s
1
={1,1,-1}×{1,-1,2}={1,-3,-2},平面方程为 π
1
:1×(x-2)-3×(y-1)-2×z=0,即π
1
:x-3y-2z+1=0 从而直线L在平面π上的投影直线的一般式方程为 [*] 过直线L的平面束为(x-y-1)+λ(y+z-1)=0,即x+(λ-1)y+λz-(λ+1)=0,当{1,λ-1,λ)⊥{1,-1,2),即λ=-2时,过直线L的平面与平面π垂直,把λ=-2代入平面束方程,则与π垂直的平面方程为π
1
:x-3y-2z+1=0,直线L在平面π上的投影直线为 [*] (2)设M(x,y,z)为所求旋转曲面∑上任意一点,过该点作垂直于y轴的平面,该平面与∑相交于一个圆,且该平面与直线L及y轴的交点分别为M
0
(x
0
,y,z
0
)及T(0,y,0),由|M
0
T|=|MT|,得x
0
2
+z
0
2
=x
2
+z
2
,注意到M
0
(x
0
,y,z
0
)∈L,即(x
0
-1)/1=y/1=(z
0
-1)/-1,于是[*]将其代入上式得 ∑:x
2
+z
2
=(y+1)
2
+(1-y)
2
,即∑:x
2
-2y
2
+z
2
=2.
解析
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0
考研数学一
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