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  3. 设直线L：(x-1)/1=y/1=(z-1)/(-1)及π：x-y+2z-1=0. (1)求直线L在平面π上的投影直线L0； (2)求L绕y轴旋转一周所成曲面的方程.

设直线L：(x-1)/1=y/1=(z-1)/(-1)及π：x-y+2z-1=0. (1)求直线L在平面π上的投影直线L0； (2)求L绕y轴旋转一周所成曲面的方程.

admin2021-12-14  31
问题 设直线L：(x-1)/1=y/1=(z-1)/(-1)及π：x-y+2z-1=0.
(1)求直线L在平面π上的投影直线L0；
(2)求L绕y轴旋转一周所成曲面的方程.
选项
答案(1)方法一 令(x-1)/1=y/1=(z-1)/-1=t，即x=1+t，y=t，z=1-t，将x=1+t，y=t，z=1-t代入平面x-y+2z-1=0，解得t=1，从而直线L与平面π的交点为M1(2，1，0)． 过直线L且垂直于平面π的平面法向量为s1={1，1，-1}×{1，-1，2}={1，-3，-2}，平面方程为 π1：1×(x-2)-3×(y-1)-2×z=0，即π1：x-3y-2z+1=0 从而直线L在平面π上的投影直线的一般式方程为 [*] 过直线L的平面束为(x-y-1)+λ(y+z-1)=0，即x+(λ-1)y+λz-(λ+1)=0，当{1，λ-1，λ)⊥{1，-1，2)，即λ=-2时，过直线L的平面与平面π垂直，把λ=-2代入平面束方程，则与π垂直的平面方程为π1：x-3y-2z+1=0，直线L在平面π上的投影直线为 [*] (2)设M(x，y，z)为所求旋转曲面∑上任意一点，过该点作垂直于y轴的平面，该平面与∑相交于一个圆，且该平面与直线L及y轴的交点分别为M0(x0，y，z0)及T(0，y，0)，由|M0T|=|MT|，得x02+z02=x2+z2，注意到M0(x0，y，z0)∈L，即(x0-1)/1=y/1=(z0-1)/-1，于是[*]将其代入上式得 ∑：x2+z2=(y+1)2+(1-y)2，即∑：x2-2y2+z2=2.
解析
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考研数学一

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